Номер 3, страница 24 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3*. Пружинный маятник с грузом массой 0,81 кг, вывели из состояния равновесия. Определите жесткость пружины, если через 0,314 с его смещение от положения равновесия впервые стало равным половине амплитуды колебаний.

Дано:

Масса груза: $m = 0,81$ кг

Время: $t = 0,314$ с

Смещение в момент времени $\text{t}$ впервые достигает значения $x(t) = A/2$, где $\text{A}$ — амплитуда колебаний.

Найти:

Жесткость пружины: $\text{k}$

Решение:

Колебания пружинного маятника являются гармоническими. Уравнение смещения $\text{x}$ от положения равновесия в зависимости от времени $\text{t}$ можно записать в виде $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (круговая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Фраза "вывели из состояния равновесия" обычно означает, что тело сместили на некоторое расстояние от положения равновесия и отпустили без начальной скорости. Это смещение и будет амплитудой колебаний $\text{A}$. В этом случае в начальный момент времени ($t=0$) смещение максимально ($x(0)=A$), а начальная скорость равна нулю. Такому условию соответствует уравнение движения с нулевой начальной фазой ($\phi_0=0$) для косинуса:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

Согласно условию задачи, в момент времени $t = 0,314$ с смещение маятника впервые стало равным половине амплитуды:

$x(t) = \frac{A}{2}$

Подставим это условие в уравнение движения:

$\frac{A}{2} = A \cos(\omega t)$

Разделим обе части уравнения на $\text{A}$ (амплитуда не равна нулю):

$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$

Поскольку по условию это событие происходит впервые, нас интересует наименьшее положительное значение аргумента $\omega t$, при котором косинус равен $1/2$. Из тригонометрии известно, что это значение равно $\pi/3$.

$\omega t = \frac{\pi}{3}$

Из этого соотношения выразим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{\pi}{3t}$

В условии дано время $t = 0,314$ с. Заметим, что это значение с высокой точностью равно $\pi/10$ (поскольку $\pi \approx 3,14$). Используем это приближение: $t \approx \frac{\pi}{10}$ с.

$\omega \approx \frac{\pi}{3 \cdot (\pi/10)} = \frac{\pi \cdot 10}{3 \cdot \pi} = \frac{10}{3}$ рад/с

С другой стороны, циклическая частота колебаний пружинного маятника связана с его массой $\text{m}$ и жесткостью пружины $\text{k}$ по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Чтобы найти жесткость $\text{k}$, возведем обе части формулы в квадрат и выразим $\text{k}$:

$\omega^2 = \frac{k}{m} \implies k = m \omega^2$

Подставим известные значения массы $\text{m}$ и вычисленной циклической частоты $\omega$:

$k = 0,81 \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 0,81 \cdot \frac{100}{9}$

$k = \frac{0,81 \cdot 100}{9} = 0,09 \cdot 100 = 9$ Н/м

Ответ: жесткость пружины равна 9 Н/м.