Номер 5, страница 24 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. Емкость конденсатора колебательного контура $0.4 \text{ мкФ}$, частота собственных колебаний $50 \text{ кГц}$, амплитуда колебаний заряда $8 \text{ мкКл}$. Запишите уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$. Определите амплитуду колебаний напряжения, амплитуду колебаний силы тока и индуктивность катушки. Постройте графики зависимости величин.

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 0.4 \text{ мкФ}$

Частота собственных колебаний, $\nu = 50 \text{ кГц}$

Амплитуда колебаний заряда, $q_m = 8 \text{ мкКл}$

Перевод в систему СИ:

$C = 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$\nu = 50 \cdot 10^3 \text{ Гц}$

$q_m = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

Амплитуду колебаний напряжения $U_m$

Амплитуду колебаний силы тока $I_m$

Индуктивность катушки $\text{L}$

Уравнения $q(t)$, $u(t)$, $i(t)$

Графики зависимостей $q(t)$, $u(t)$, $i(t)$

Решение:

Сначала определим циклическую частоту колебаний $\omega$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^5\pi \text{ рад/с}$

Период колебаний $\text{T}$ равен:

$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{50 \cdot 10^3 \text{ Гц}} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ с} = 20 \text{ мкс}$

Определите амплитуду колебаний напряжения, амплитуду колебаний силы тока и индуктивность катушки.

Амплитуда колебаний напряжения $U_m$ на конденсаторе связана с амплитудой заряда $q_m$ и емкостью $\text{C}$ по формуле:

$U_m = \frac{q_m}{C}$

$U_m = \frac{8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{0.4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 20 \text{ В}$

Сила тока $i(t)$ является производной от заряда по времени: $i(t) = q'(t)$. Для гармонических колебаний заряда $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$, сила тока будет $i(t) = -q_m \omega \sin(\omega t + \phi_0)$. Амплитуда колебаний силы тока $I_m$ равна:

$I_m = q_m \cdot \omega$

$I_m = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^5\pi \text{ рад/с} = 0.8\pi \text{ А} \approx 2.51 \text{ А}$

Индуктивность катушки $\text{L}$ найдем из формулы Томсона для циклической частоты собственных колебаний в контуре:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Выразим $\text{L}$:

$L = \frac{1}{\omega^2 C} = \frac{1}{(10^5\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{10^{10}\pi^2 \cdot 0.4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0.4\pi^2 \cdot 10^4} \text{ Гн}$

$L = \frac{1}{4000\pi^2} \text{ Гн} \approx 2.53 \cdot 10^{-5} \text{ Гн} = 25.3 \text{ мкГн}$

Ответ: Амплитуда колебаний напряжения $U_m = 20 \text{ В}$. Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 0.8\pi \text{ А} \approx 2.51 \text{ А}$. Индуктивность катушки $L \approx 25.3 \text{ мкГн}$.

Запишите уравнения q = q(t), u = u(t), i = i(t).

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi_0)$. Примем, что в начальный момент времени $t=0$ заряд конденсатора максимален, тогда начальная фаза для заряда $\phi_0 = 0$.

Уравнение колебаний заряда $q(t)$:

$q(t) = q_m \cos(\omega t) = 8 \cdot 10^{-6} \cos(10^5\pi t) \text{ (Кл)}$

Напряжение на конденсаторе $u(t) = q(t)/C$, поэтому колебания напряжения происходят в той же фазе, что и колебания заряда. Уравнение колебаний напряжения $u(t)$:

$u(t) = U_m \cos(\omega t) = 20 \cos(10^5\pi t) \text{ (В)}$

Сила тока $i(t)$ — это производная заряда по времени $q'(t)$. Колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

$i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega t)) = -q_m \omega \sin(\omega t) = I_m \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$

Уравнение колебаний силы тока $i(t)$:

$i(t) = 0.8\pi \cos(10^5\pi t + \frac{\pi}{2}) \text{ (А)}$

Эквивалентная форма записи через синус:

$i(t) = -0.8\pi \sin(10^5\pi t) \text{ (А)}$

Ответ: Уравнения зависимостей от времени: $q(t) = 8 \cdot 10^{-6} \cos(10^5\pi t)$, $u(t) = 20 \cos(10^5\pi t)$, $i(t) = 0.8\pi \cos(10^5\pi t + \frac{\pi}{2})$.

Постройте графики зависимости величин.

Все три величины ($\text{q}$, $\text{u}$, $\text{i}$) совершают гармонические колебания с периодом $T = 20$ мкс.

График заряда $q(t)$: представляет собой косинусоиду. При $t=0$ значение максимально: $q(0) = q_m = 8$ мкКл. Далее заряд уменьшается, проходя через ноль при $t = T/4 = 5$ мкс, достигает минимума $-8$ мкКл при $t = T/2 = 10$ мкс, снова проходит через ноль при $t = 3T/4 = 15$ мкс и возвращается к максимуму в конце периода при $t = T = 20$ мкс.

График напряжения $u(t)$: также является косинусоидой и находится в фазе с зарядом. При $t=0$ напряжение максимально: $u(0) = U_m = 20$ В. Форма графика полностью повторяет форму графика заряда, отличаясь только масштабом по вертикальной оси.

График силы тока $i(t)$: представляет собой косинусоиду, сдвинутую по фазе на $+\frac{\pi}{2}$ относительно графиков заряда и напряжения (опережает их). При $t=0$ сила тока равна нулю ($i(0)=0$). Затем ток становится отрицательным (поскольку $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, а производная отрицательна), достигая минимума $-I_m = -0.8\pi$ А при $t = T/4 = 5$ мкс. Сила тока проходит через ноль при $t = T/2 = 10$ мкс, достигает максимума $+I_m = +0.8\pi$ А при $t = 3T/4 = 15$ мкс и снова обращается в ноль при $t = T = 20$ мкс.

Ответ: Графики зависимостей $q(t)$, $u(t)$ и $i(t)$ от времени являются синусоидальными (гармоническими). Графики $q(t)$ и $u(t)$ совпадают по фазе (косинусоиды), а график $i(t)$ опережает их по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Период всех колебаний $T = 20$ мкс.