Экспериментальное задание, страница 24 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Экспериментальное задание

Определите максимальную скорость колебаний математического маятника. Постройте график зависимости максимальной скорости и амплитуды колебаний от времени в пределах одного периода.

Определите максимальную скорость колебаний математического маятника.

Максимальную скорость колебаний математического маятника можно определить теоретически, исходя из закона сохранения энергии, или экспериментально, измерив параметры колебаний.

Теоретическое определение:
Полная механическая энергия маятника сохраняется (при отсутствии трения и сопротивления воздуха). В точке максимального отклонения (амплитуда) вся энергия является потенциальной, а при прохождении положения равновесия вся энергия становится кинетической.

Потенциальная энергия в крайнем положении: $E_p = mgh$, где $\text{m}$ – масса маятника, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – максимальная высота подъема над положением равновесия.

Кинетическая энергия в положении равновесия: $E_k = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, где $v_{max}$ – максимальная скорость.

По закону сохранения энергии $E_p = E_k$:
$mgh = \frac{1}{2}mv_{max}^2$
Отсюда максимальная скорость: $v_{max} = \sqrt{2gh}$.

Для малых углов отклонения, колебания математического маятника можно считать гармоническими. В этом случае максимальная скорость связана с амплитудой $\text{A}$ (максимальное смещение от положения равновесия) и циклической частотой $\omega$:
$v_{max} = A \cdot \omega$
Циклическая частота для математического маятника определяется его длиной $\text{L}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$: $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$.
Также частоту можно выразить через период колебаний $\text{T}$: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
Таким образом, получаем две рабочие формулы для малых колебаний:
$v_{max} = A \sqrt{\frac{g}{L}}$ или $v_{max} = A \frac{2\pi}{T}$.

Экспериментальное определение:
1. Собрать установку: математический маятник (шарик на длинной нерастяжимой нити).
2. Измерить длину нити $\text{L}$ с помощью рулетки.
3. Отклонить маятник на небольшой угол и отпустить. Измерить с помощью секундомера время $\text{t}$ для $\text{N}$ полных колебаний (например, $N=20$).
4. Вычислить период колебаний: $T = \frac{t}{N}$.
5. Измерить амплитуду колебаний $\text{A}$ (максимальное горизонтальное смещение от положения равновесия) с помощью линейки.
6. Рассчитать максимальную скорость по формуле: $v_{max} = A \frac{2\pi}{T}$.

Ответ: Максимальная скорость колебаний математического маятника определяется по формуле $v_{max} = \sqrt{2gh}$, где $\text{h}$ - максимальная высота подъема. Для малых колебаний (гармоническое движение) ее можно рассчитать по формуле $v_{max} = A \cdot \omega$, где $\text{A}$ – амплитуда, а $\omega$ – циклическая частота колебаний ($\omega = \frac{2\pi}{T}$).

Постройте график зависимости максимальной скорости и амплитуды колебаний от времени в пределах одного периода.

В формулировке задания есть некоторая неоднозначность. Рассмотрим два возможных толкования.

1. Буквальное толкование: График зависимости именно амплитуды ($\text{A}$) и максимальной скорости ($v_{max}$) от времени. В модели идеального математического маятника (без затухания) амплитуда колебаний $\text{A}$ является постоянной величиной. Максимальная скорость $v_{max} = A \cdot \omega$ также является постоянной величиной, так как $\text{A}$ и $\omega$ не меняются со временем. Следовательно, графики зависимости этих величин от времени будут представлять собой две горизонтальные прямые, параллельные оси времени.

2. Наиболее вероятное толкование: Построить графики зависимости мгновенного смещения $x(t)$ (величина, характеризуемая амплитудой) и мгновенной скорости $v(t)$ (величина, характеризуемая максимальной скоростью) от времени в пределах одного периода.

Примем, что колебания являются гармоническими и в начальный момент времени ($t=0$) маятник находится в положении максимального отклонения ($x(0) = A$).

Тогда уравнение для смещения от положения равновесия имеет вид:
$x(t) = A \cos(\omega t) = A \cos(\frac{2\pi}{T}t)$
График этой зависимости — косинусоида.

Уравнение для скорости является производной от смещения по времени:
$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t) = -v_{max} \sin(\frac{2\pi}{T}t)$
График этой зависимости — синусоида, инвертированная относительно оси времени (начинается из нуля и идет в отрицательную область).

Описание графиков на одном временном интервале от $t=0$ до $t=T$:

• График смещения $x(t)$ (синий на рисунке-примере): Начинается в точке $(0, A)$, при $t=T/4$ пересекает ось времени ($x=0$), при $t=T/2$ достигает минимума в точке $(T/2, -A)$, при $t=3T/4$ снова пересекает ось времени ($x=0$), и при $t=T$ возвращается в исходное положение $(T, A)$.
• График скорости $v(t)$ (красный на рисунке-примере): Начинается в точке $(0, 0)$ (в крайнем положении скорость равна нулю), при $t=T/4$ достигает максимальной по модулю отрицательной скорости в точке $(T/4, -v_{max})$ (при прохождении положения равновесия), при $t=T/2$ скорость снова равна нулю, при $t=3T/4$ достигает максимальной положительной скорости в точке $(3T/4, v_{max})$, и при $t=T$ скорость возвращается к нулю.

Таким образом, на графике показаны зависимости смещения (которое изменяется в пределах от $-A$ до $+A$) и скорости (которая изменяется в пределах от $-v_{max}$ до $+v_{max}$) от времени. Фазы этих колебаний сдвинуты на $\pi/2$ ($T/4$).

Ответ: В предположении, что требуется построить графики мгновенного смещения и мгновенной скорости, график зависимости смещения от времени $x(t)$ является косинусоидой (если движение начинается из крайнего положения), а график зависимости скорости от времени $v(t)$ — инвертированной синусоидой. Скорость достигает своих максимальных значений по модулю в моменты прохождения маятником положения равновесия, а смещение максимально в крайних точках траектории.