Номер 4, страница 24 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности 5 мА, а амплитуда заряда конденсатора 2,5 нКл. В некоторое время заряд конденсатора стал равным 1,5 нКл. Определите силу тока в катушке в этот момент.

Дано:

Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 5 \text{ мА} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Амплитуда колебаний заряда $q_m = 2,5 \text{ нКл} = 2,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Мгновенное значение заряда $q = 1,5 \text{ нКл} = 1,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Мгновенное значение силы тока $\text{i}$.

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется. Она состоит из энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$.

Полная энергия контура в любой момент времени $\text{t}$ равна:

$W = W_C + W_L = \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2}$

где $\text{q}$ и $\text{i}$ – мгновенные значения заряда и силы тока, $\text{C}$ – емкость конденсатора, $\text{L}$ – индуктивность катушки.

По закону сохранения энергии, полная энергия контура постоянна и равна максимальной энергии электрического поля (когда ток равен нулю, а заряд максимален) или максимальной энергии магнитного поля (когда заряд на конденсаторе равен нулю, а ток максимален).

$W = W_{C,max} = \frac{q_m^2}{2C}$

Также, $W = W_{L,max} = \frac{LI_m^2}{2}$

Приравнивая эти выражения, получаем связь между амплитудами:

$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2}$

Для решения задачи запишем закон сохранения энергии, приравняв полную энергию в произвольный момент времени к ее максимальному значению (например, к максимальной энергии электрического поля):

$\frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2} = \frac{q_m^2}{2C}$

Выразим из этого уравнения мгновенную силу тока $\text{i}$. Умножим обе части уравнения на 2:

$\frac{q^2}{C} + Li^2 = \frac{q_m^2}{C}$

$Li^2 = \frac{q_m^2}{C} - \frac{q^2}{C} = \frac{q_m^2 - q^2}{C}$

$i^2 = \frac{q_m^2 - q^2}{LC}$

Из соотношения для амплитуд $\frac{q_m^2}{C} = LI_m^2$ можно выразить $\frac{1}{LC}$:

$\frac{1}{LC} = \frac{I_m^2}{q_m^2}$

Подставим это выражение в формулу для $i^2$:

$i^2 = (q_m^2 - q^2) \cdot \frac{I_m^2}{q_m^2} = I_m^2 \left(\frac{q_m^2 - q^2}{q_m^2}\right) = I_m^2 \left(1 - \frac{q^2}{q_m^2}\right)$

Извлекая квадратный корень, находим модуль искомой силы тока:

$|i| = I_m \sqrt{1 - \left(\frac{q}{q_m}\right)^2}$

Подставим числовые значения:

$i = 5 \cdot 10^{-3} \text{ А} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{2,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}\right)^2}$

$i = 5 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1,5}{2,5}\right)^2} = 5 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{1 - (0,6)^2}$

$i = 5 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{1 - 0,36} = 5 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{0,64}$

$i = 5 \cdot 10^{-3} \cdot 0,8 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Переведем ответ в миллиамперы: $4 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 4 \text{ мА}$.

Ответ: $4 \text{ мА}$.