Номер 6, страница 24 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

6. Напряжение на обкладках конденсатора емкостью 1 мкФ меняется по закону: $u = 100\cos500t$. Определите:

а) максимальное значение напряжения на конденсаторе;

б) период, частоту и циклическую частоту колебаний в контуре;

в) максимальный заряд конденсатора;

г) индуктивность контура;

д) максимальную силу тока в контуре.

Напишите:

е) уравнение зависимости заряда конденсатора от времени;

ж) уравнение зависимости силы тока от времени. Изобразите графики зависимости $u(t)$, $q(t)$, $i(t)$.

Дано:

$C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$u(t) = 100\cos(500t) \text{ В}$

Найти:

а) $U_{max} - ?$
б) $T, \nu, \omega - ?$
в) $q_{max} - ?$
г) $L - ?$
д) $I_{max} - ?$
е) $q(t) - ?$
ж) $i(t) - ?$
Изобразить графики $u(t), q(t), i(t)$.

Решение:

а) Общее уравнение колебаний напряжения в контуре имеет вид $u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая это уравнение с заданным $u(t) = 100\cos(500t)$, находим максимальное (амплитудное) значение напряжения.
$U_{max} = 100 \text{ В}$.

Ответ: Максимальное значение напряжения на конденсаторе $U_{max} = 100 \text{ В}$.

б) Из того же сравнения общего уравнения $u(t) = U_{max}\cos(\omega t)$ с заданным $u(t) = 100\cos(500t)$ находим циклическую (круговую) частоту колебаний.
$\omega = 500 \text{ рад/с}$.
Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
$T = \frac{2\pi}{500} = \frac{\pi}{250} \text{ с} \approx 0.0126 \text{ с}$.
Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$.
$\nu = \frac{500}{2\pi} = \frac{250}{\pi} \text{ Гц} \approx 79.6 \text{ Гц}$.

Ответ: Период $T = \frac{\pi}{250} \text{ с}$, частота $\nu = \frac{250}{\pi} \text{ Гц}$, циклическая частота $\omega = 500 \text{ рад/с}$.

в) Заряд на конденсаторе связан с напряжением на нем и емкостью по формуле $q = C \cdot u$. Максимальный заряд $q_{max}$ будет при максимальном напряжении $U_{max}$.
$q_{max} = C \cdot U_{max} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 100 \text{ В} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-4} \text{ Кл}$ (или 100 мкКл).

Ответ: Максимальный заряд конденсатора $q_{max} = 10^{-4} \text{ Кл}$.

г) Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
Выразим из этой формулы индуктивность $\text{L}$:
$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies L = \frac{1}{\omega^2 C}$.
Подставим известные значения:
$L = \frac{1}{(500 \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{250000 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0.25} = 4 \text{ Гн}$.

Ответ: Индуктивность контура $L = 4 \text{ Гн}$.

д) Максимальная сила тока $I_{max}$ связана с максимальным зарядом $q_{max}$ и циклической частотой $\omega$ соотношением $I_{max} = q_{max} \cdot \omega$.
$I_{max} = 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ рад/с} = 500 \cdot 10^{-4} \text{ А} = 0.05 \text{ А}$ (или 50 мА).

Ответ: Максимальная сила тока в контуре $I_{max} = 0.05 \text{ А}$.

е) Уравнение зависимости заряда от времени $q(t)$ можно найти, умножив емкость $\text{C}$ на уравнение зависимости напряжения от времени $u(t)$.
$q(t) = C \cdot u(t) = 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 100\cos(500t) = 10^{-4}\cos(500t) \text{ Кл}$.

Ответ: Уравнение зависимости заряда конденсатора от времени $q(t) = 10^{-4}\cos(500t)$ (в Кл).

ж) Сила тока $i(t)$ является первой производной от заряда $q(t)$ по времени: $i(t) = q'(t)$.
$i(t) = \frac{d}{dt}(10^{-4}\cos(500t)) = 10^{-4} \cdot (-\sin(500t)) \cdot (500t)' = 10^{-4} \cdot (-\sin(500t)) \cdot 500 = -500 \cdot 10^{-4}\sin(500t) = -0.05\sin(500t) \text{ А}$.
Из этого уравнения видно, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда (и напряжения) на $\frac{\pi}{2}$, так как $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Уравнение зависимости силы тока от времени $i(t) = -0.05\sin(500t)$ (в А).

Изображение графиков зависимостей:

1. График $u(t) = 100\cos(500t)$: это график косинусоиды. Амплитуда колебаний равна $100 \text{ В}$. В начальный момент времени $t=0$ напряжение максимально ($u(0)=100 \text{ В}$). Период колебаний $T=\pi/250 \text{ с}$.

2. График $q(t) = 10^{-4}\cos(500t)$: это график косинусоиды, который полностью совпадает по фазе с графиком напряжения. Амплитуда колебаний заряда равна $10^{-4} \text{ Кл}$. В начальный момент времени $t=0$ заряд максимален ($q(0)=10^{-4} \text{ Кл}$). Период колебаний тот же, $T=\pi/250 \text{ с}$.

3. График $i(t) = -0.05\sin(500t)$: это график функции "минус синус". Амплитуда колебаний силы тока равна $0.05 \text{ А}$. В начальный момент времени $t=0$ сила тока равна нулю ($i(0)=0$). Затем сила тока становится отрицательной, достигая минимума $-0.05 \text{ А}$ в момент времени $t=T/4$. Колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения и заряда на $\frac{\pi}{2}$.