Задание 3, страница 30 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Постройте графики зависимости магнитного потока и ЭДС индукции от времени. Известно, что в начальный момент времени нормаль к рамке совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Определите сдвиг фаз колебаний.

Дано:

Рамка площадью $\text{S}$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$.

В начальный момент времени $t = 0$ нормаль к рамке $\vec{n}$ совпадает по направлению с вектором магнитной индукции $\vec{B}$, т.е. угол $\alpha$ между ними равен нулю: $\alpha(0) = 0$.

Найти:

1. График зависимости магнитного потока от времени $\Phi(t)$.

2. График зависимости ЭДС индукции от времени $\varepsilon(t)$.

3. Сдвиг фаз $\Delta\varphi$ между колебаниями $\Phi(t)$ и $\varepsilon(t)$.

Решение:

Магнитный поток $\Phi$, пронизывающий рамку, определяется по формуле:

$\Phi = B S \cos\alpha$

где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.

Так как рамка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha(t) = \omega t + \alpha_0$. Согласно условию, в начальный момент времени $t=0$ нормаль совпадает с вектором индукции, следовательно, начальный угол $\alpha_0 = 0$. Таким образом, $\alpha(t) = \omega t$.

Тогда зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$\Phi(t) = B S \cos(\omega t)$

Обозначим амплитудное (максимальное) значение магнитного потока как $\Phi_{max} = B S$. Тогда:

$\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\varepsilon$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt}$

Найдем производную от выражения для магнитного потока по времени:

$\varepsilon(t) = -\frac{d}{dt}(\Phi_{max} \cos(\omega t)) = - \Phi_{max} (-\sin(\omega t)) \cdot \omega = \omega \Phi_{max} \sin(\omega t)$

Обозначим амплитудное (максимальное) значение ЭДС индукции как $\varepsilon_{max} = \omega \Phi_{max} = \omega B S$. Тогда:

$\varepsilon(t) = \varepsilon_{max} \sin(\omega t)$

Постройте графики зависимости магнитного потока и ЭДС индукции от времени.

1. График зависимости магнитного потока $\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$ представляет собой косинусоиду. В момент времени $t=0$ поток максимален ($\Phi = \Phi_{max}$), в момент $t = T/4$ (где $T = 2\pi/\omega$ - период обращения) поток равен нулю, в момент $t = T/2$ поток достигает минимального значения ($\Phi = -\Phi_{max}$) и так далее.

2. График зависимости ЭДС индукции $\varepsilon(t) = \varepsilon_{max} \sin(\omega t)$ представляет собой синусоиду. В момент времени $t=0$ ЭДС равна нулю, в момент $t = T/4$ ЭДС максимальна ($\varepsilon = \varepsilon_{max}$), в момент $t = T/2$ снова равна нулю и так далее.

Ответ: Графики зависимости магнитного потока и ЭДС индукции от времени представляют собой смещенные друг относительно друга гармонические функции: график $\Phi(t)$ является косинусоидой, а график $\varepsilon(t)$ - синусоидой. Графики представлены выше.

Определите сдвиг фаз колебаний.

Сравним фазы колебаний магнитного потока и ЭДС индукции. У нас есть два уравнения:

1. $\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$

2. $\varepsilon(t) = \varepsilon_{max} \sin(\omega t)$

Для сравнения фаз необходимо привести обе функции к одной тригонометрической форме, например, к косинусу. Используем тригонометрическое тождество приведения: $\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$.

Тогда для ЭДС индукции получаем:

$\varepsilon(t) = \varepsilon_{max} \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$

Теперь сравним выражения для фаз (аргументы косинуса):

Фаза магнитного потока: $\varphi_{\Phi} = \omega t$

Фаза ЭДС индукции: $\varphi_{\varepsilon} = \omega t - \frac{\pi}{2}$

Сдвиг фаз $\Delta\varphi$ - это разность фаз двух колебаний:

$\Delta\varphi = \varphi_{\Phi} - \varphi_{\varepsilon} = \omega t - (\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$

Это означает, что колебания ЭДС индукции отстают по фазе от колебаний магнитного потока на $\frac{\pi}{2}$ (или на четверть периода).

Ответ: Сдвиг фаз между колебаниями магнитного потока и ЭДС индукции составляет $\frac{\pi}{2}$.