Задание 2, страница 33 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Определите мгновенные значения напряжения, изменяющегося по закону $u = 308 \cos 100 \pi t$ через промежутки времени, равные $t_1 = 0,25 \, \text{с}$ и $t_2 = 1 \, \text{с}$ после начала колебаний. Чему равно максимальное значение напряжения? В какие моменты времени напряжение достигает максимального значения?

Дано:

Закон изменения напряжения: $u(t) = 308 \cos(100 \pi t)$
Момент времени $t_1 = 0,25$ с
Момент времени $t_2 = 1$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$u(t_1)$ — мгновенное значение напряжения в момент времени $t_1$
$u(t_2)$ — мгновенное значение напряжения в момент времени $t_2$
$U_{max}$ — максимальное значение напряжения
$t_{max}$ — моменты времени, когда напряжение достигает максимального значения

Решение:

Уравнение гармонических колебаний напряжения в общем виде: $u(t) = U_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$, где $U_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравним общее уравнение с заданным: $u(t) = 308 \cos(100 \pi t)$.

Определите мгновенные значения напряжения, изменяющегося по закону u = 308 cos 100 πt, через промежутки времени, равные t₁ = 0,25 с и t₂ = 1 с после начала колебаний.

Для нахождения мгновенного значения напряжения в определенный момент времени, подставим это время в заданное уравнение.

1. Найдем напряжение в момент времени $t_1 = 0,25$ с:

$u(t_1) = 308 \cos(100 \pi \cdot 0,25) = 308 \cos(25\pi)$

Поскольку косинус от нечетного числа $\pi$ равен -1 ($\cos(\pi) = -1, \cos(3\pi) = -1, ...$), то $\cos(25\pi) = -1$.

$u(t_1) = 308 \cdot (-1) = -308$ В

2. Найдем напряжение в момент времени $t_2 = 1$ с:

$u(t_2) = 308 \cos(100 \pi \cdot 1) = 308 \cos(100\pi)$

Поскольку косинус от четного числа $\pi$ равен 1 ($\cos(0) = 1, \cos(2\pi) = 1, ...$), то $\cos(100\pi) = 1$.

$u(t_2) = 308 \cdot 1 = 308$ В

Ответ: мгновенное значение напряжения в момент времени $t_1 = 0,25$ с равно -308 В; в момент времени $t_2 = 1$ с равно 308 В.

Чему равно максимальное значение напряжения?

Максимальное (амплитудное) значение напряжения $U_{max}$ — это коэффициент, стоящий перед функцией косинуса в уравнении колебаний.

Из уравнения $u(t) = 308 \cos(100 \pi t)$ видно, что $U_{max} = 308$ В.

Ответ: максимальное значение напряжения равно 308 В.

В какие моменты времени напряжение достигает максимального значения?

Напряжение достигает своего максимального значения, когда косинус в уравнении равен 1.

$\cos(100 \pi t) = 1$

Это условие выполняется, когда аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $\text{k}$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$100 \pi t = 2\pi k$

Выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{2\pi k}{100\pi} = \frac{k}{50}$

Так как время отсчитывается с начала колебаний, оно не может быть отрицательным, поэтому $\text{k}$ принимает значения $0, 1, 2, 3, ...$

Ответ: напряжение достигает максимального значения в моменты времени $t = \frac{k}{50}$ с, где $k = 0, 1, 2, 3, ...$