Эксперимент, страница 72 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент

Закрепите конец шнура, как показано на рисунке 83. Создайте бегущую волну колебательным движением в вертикальной плоскости. Пронаблюдайте стоячие волны, образовавшиеся в результате наложения бегущей и отраженной волны.

Рис. 83. Стоячая волна

Описание эксперимента и наблюдений

Данный эксперимент демонстрирует явление интерференции волн и образование стоячих волн.

1. Подготовка: Один конец гибкого шнура или веревки надежно закрепляется, например, на стене. Другой конец остается свободным, чтобы его можно было держать в руке.

2. Создание волны: Совершая рукой ритмичные колебательные движения вверх-вниз (в вертикальной плоскости), мы создаем в шнуре поперечную волну. Эта волна начинает распространяться (бежать) вдоль шнура от руки к закрепленному концу. Это бегущая волна.

3. Отражение и наложение: Достигнув закрепленного конца, волна отражается и начинает двигаться в обратном направлении — от стены к руке. В результате в шнуре одновременно существуют две волны: первичная (падающая), идущая к стене, и вторичная (отраженная), идущая от стены. Эти две волны накладываются друг на друга (интерферируют).

4. Наблюдение: При определенной частоте колебаний руки можно заметить, что шнур принимает устойчивую форму, состоящую из нескольких "петель" или "веретен". Кажется, что волна больше не бежит по шнуру, а "стоит" на месте, лишь колеблясь в поперечном направлении. Это и есть стоячая волна. В этой волне есть точки, которые остаются неподвижными (узлы), и точки, которые колеблются с максимальной амплитудой (пучности).

Ответ: Эксперимент заключается в создании бегущей волны в закрепленном на одном конце шнуре и наблюдении за ее наложением с отраженной волной. При правильном подборе частоты колебаний в шнуре образуется стоячая волна — устойчивая картина чередующихся неподвижных точек (узлов) и точек с максимальной амплитудой колебаний (пучностей).

Физическое объяснение образования стоячей волны

Стоячая волна возникает в результате интерференции (сложения) двух когерентных волн, распространяющихся навстречу друг другу. В данном эксперименте это падающая и отраженная волны.

Уравнение падающей (бегущей) волны, создаваемой рукой и распространяющейся в положительном направлении оси X, можно записать как:
$y_{пад}(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$
где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — круговая частота, $k = 2\pi/\lambda$ — волновое число, $\lambda$ — длина волны.

При отражении от жестко закрепленного конца (более плотной среды) фаза волны меняется на $\pi$ (180°). Отраженная волна будет распространяться в отрицательном направлении оси X, и ее уравнение имеет вид:
$y_{отр}(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \pi) = -A \sin(\omega t + kx)$

Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение $y(x, t)$ любой точки шнура равно сумме смещений от падающей и отраженной волн:
$y(x, t) = y_{пад}(x, t) + y_{отр}(x, t) = A \sin(\omega t - kx) - A \sin(\omega t + kx)$

Используя тригонометрическую формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin((\alpha-\beta)/2)\cos((\alpha+\beta)/2)$, получаем уравнение стоячей волны:
$y(x, t) = 2A \sin(-kx) \cos(\omega t) = -[2A \sin(kx)] \cos(\omega t)$

Это уравнение описывает колебания, где амплитуда зависит от координаты $\text{x}$: $A_{ст}(x) = 2A |\sin(kx)|$.

• Узлы стоячей волны — это точки, в которых амплитуда колебаний всегда равна нулю. Это происходит, когда $\sin(kx) = 0$. Условие для координат узлов: $kx = n\pi$, где $n = 0, 1, 2, ...$. Отсюда $x_n = n \frac{\pi}{k} = n \frac{\lambda}{2}$. Расстояние между соседними узлами равно половине длины волны, $\lambda/2$. Закрепленный конец шнура всегда является узлом.
• Пучности стоячей волны — это точки, в которых амплитуда колебаний максимальна и равна $\text{2A}$. Это происходит, когда $|\sin(kx)| = 1$. Условие для координат пучностей: $kx = (n + 1/2)\pi$. Отсюда $x_n = (n + 1/2) \frac{\lambda}{2}$. Пучности находятся ровно посередине между соседними узлами.

Важным условием существования устойчивой стоячей волны на шнуре длиной $\text{L}$ с двумя закрепленными концами (один конец закреплен на стене, а другой, колеблющийся, можно считать практически неподвижным узлом) является укладывание на всей длине шнура целого числа полуволн:
$L = n \frac{\lambda}{2}$, где $\text{n}$ — целое число, равное числу пучностей.

Ответ: Стоячая волна — это результат интерференции падающей и отраженной от препятствия волн. В отличие от бегущей волны, она не переносит энергию. Ее характерной особенностью является наличие неподвижных точек (узлов) и точек с максимальной амплитудой колебаний (пучностей), положение которых в пространстве не меняется со временем. Амплитуда колебаний в стоячей волне зависит от координаты точки.