Номер 2, страница 141 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Каким должен быть угол падения луча света на поверхность стекла, чтобы отраженный луч был перпендикулярен преломленному? Показатель преломления стекла примите равным 1,73.

Дано:

Показатель преломления первой среды (воздух) $n_1 = 1$
Показатель преломления второй среды (стекло) $n_2 = 1.73$

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

При падении луча света на границу раздела двух сред (в данном случае, воздух-стекло) он частично отражается и частично преломляется. Для решения задачи воспользуемся законом отражения света и законом преломления света (законом Снеллиуса).
Закон отражения света гласит, что угол падения $\alpha$ равен углу отражения $\alpha'$: $ \alpha' = \alpha $ Все углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к границе раздела сред, восстановленной в точке падения луча.
Закон преломления Снеллиуса связывает углы падения и преломления следующим соотношением: $ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta $ где $\beta$ — угол преломления.
Согласно условию задачи, отраженный луч перпендикулярен преломленному. Это означает, что угол между ними составляет $90^\circ$. Так как отраженный и преломленный лучи находятся по разные стороны от нормали (в плоскости падения), угол между ними равен сумме угла отражения и угла преломления. Хотя нет, это неверное утверждение. Из геометрии лучей, если посмотреть на чертеж, можно увидеть, что угол отражения $\alpha'$, угол $90^\circ$ (между лучами) и угол преломления $\beta$ вместе составляют развернутый угол $180^\circ$ вдоль прямой, перпендикулярной плоскости падения. Более простое и наглядное геометрическое соотношение, которое следует из рисунка хода лучей, это: $ \alpha' + \beta = 90^\circ $
Поскольку угол падения равен углу отражения ($\alpha = \alpha'$), мы можем переписать это условие как: $ \alpha + \beta = 90^\circ $
Из этого соотношения выразим угол преломления $\beta$: $ \beta = 90^\circ - \alpha $
Теперь подставим это выражение для $\beta$ в закон Снеллиуса: $ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin(90^\circ - \alpha) $
Воспользуемся тригонометрической формулой приведения: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$. Тогда уравнение примет вид: $ n_1 \sin\alpha = n_2 \cos\alpha $
Разделив обе части на $\cos\alpha$ (поскольку угол падения не может быть $90^\circ$) и на $n_1$, получим: $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{n_2}{n_1} $
$ \tan\alpha = \frac{n_2}{n_1} $
Это выражение известно как закон Брюстера, а угол $\alpha$, удовлетворяющий этому условию, называется углом Брюстера.
Подставим данные из условия задачи: $n_1 = 1$ (для воздуха) и $n_2 = 1.73$. $ \tan\alpha = \frac{1.73}{1} = 1.73 $
Чтобы найти угол $\alpha$, нужно взять арктангенс от этого значения. Заметим, что число $1.73$ очень близко к значению $\sqrt{3} \approx 1.732$. Из тригонометрии известно, что тангенс угла $60^\circ$ равен $\sqrt{3}$. $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732 $
Следовательно, искомый угол падения приблизительно равен $60^\circ$. $ \alpha = \arctan(1.73) \approx 60^\circ $

Ответ: чтобы отраженный луч был перпендикулярен преломленному, угол падения луча света на поверхность стекла должен быть равен примерно $60^\circ$.