Номер 3, страница 141 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. На дне реки лежит камень. Человек хочет толкнуть его шестом. Прицеливаясь, он держит шест под углом $\varphi = 20^{\circ}$ к горизонту. На каком расстоянии от камня воткнется шест в дно реки, если ее глубина $h = 50$ см?

Дано:

Угол шеста к горизонту $ \varphi = 20^\circ $

Глубина реки $ h = 50 \, \text{см} $

Показатель преломления воды $ n_2 = 1,33 $

Показатель преломления воздуха $ n_1 = 1 $

Перевод в СИ:

$ h = 0,5 \, \text{м} $

Найти:

$\text{x}$ — расстояние от камня до места, куда воткнется шест.

Решение:

Эта задача связана с явлением преломления света на границе двух сред: воды и воздуха. Человек видит не реальное положение камня, а его кажущееся (мнимое) изображение. Это происходит потому, что лучи света, идущие от камня, преломляются при выходе из воды в воздух.

Человек направляет шест по прямой линии, соответствующей его линии взгляда на мнимое изображение камня. Шест, будучи твердым телом, не преломляется и движется по прямой до дна.

Сделаем схематический рисунок. Пусть точка $\text{P}$ — это точка, где шест (и линия взгляда) пересекает поверхность воды. Глубина реки $\text{h}$. Камень находится в точке $\text{K}$, а шест воткнется в дно в точке $\text{S}$.

1. Найдем, куда воткнется шест. Шест держат под углом $ \varphi = 20^\circ $ к горизонту. Угол $ \alpha $ между шестом и нормалью (вертикалью) к поверхности воды будет:

$ \alpha = 90^\circ - \varphi = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ $

Шест входит в воду в точке $\text{P}$ и продолжает движение по прямой под тем же углом $ \alpha $ к вертикали. Расстояние по горизонтали от точки $\text{P}$ до точки $\text{S}$, куда воткнется шест, найдем из прямоугольного треугольника:

$ L_S = h \cdot \tan(\alpha) $

2. Найдем реальное положение камня. Человек видит камень, потому что свет от камня (из точки $\text{K}$) доходит до его глаз. Луч света выходит из воды в точке $\text{P}$ под углом преломления $ \alpha = 70^\circ $ к нормали. Угол падения $ \beta $ (угол луча в воде с нормалью) можно найти с помощью закона преломления Снеллиуса:

$ n_2 \sin(\beta) = n_1 \sin(\alpha) $

Отсюда найдем синус угла $ \beta $:

$ \sin(\beta) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\alpha) = \frac{1}{1,33} \sin(70^\circ) $

$ \sin(70^\circ) \approx 0,9397 $

$ \sin(\beta) \approx \frac{0,9397}{1,33} \approx 0,7065 $

Теперь найдем сам угол $ \beta $:

$ \beta = \arcsin(0,7065) \approx 44,95^\circ $

Горизонтальное расстояние от точки $\text{P}$ до реального положения камня $\text{K}$ равно:

$ L_K = h \cdot \tan(\beta) $

3. Найдем искомое расстояние $\text{x}$. Расстояние от камня до места, куда воткнется шест, — это разница их горизонтальных положений относительно точки входа шеста в воду:

$ x = |L_S - L_K| = |h \cdot \tan(\alpha) - h \cdot \tan(\beta)| = h \cdot (\tan(\alpha) - \tan(\beta)) $

(Мы берем разность $ \tan(\alpha) - \tan(\beta) $, так как $ \alpha > \beta $, и, следовательно, $ \tan(\alpha) > \tan(\beta) $).

Подставим значения:

$ \tan(\alpha) = \tan(70^\circ) \approx 2,7475 $

$ \tan(\beta) = \tan(44,95^\circ) \approx 0,9983 $

$ x = 0,5 \, \text{м} \cdot (2,7475 - 0,9983) = 0,5 \, \text{м} \cdot 1,7492 = 0,8746 \, \text{м} $

Переведем результат в сантиметры:

$ x = 0,8746 \cdot 100 \approx 87,5 \, \text{см} $

Таким образом, шест воткнется в дно на расстоянии примерно 87,5 см от камня.

Ответ: $ x \approx 87,5 \, \text{см} $.