Номер 4, страница 141 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. На какой глубине под водой находится водолаз, если он видит отраженными от поверхности воды те части горизонтального дна, которые расположены от него на расстоянии $S = 15 \text{ м}$ и больше? Рост водолаза $h = 1,5 \text{ м}$.

Дано:

$S = 15$ м (минимальное горизонтальное расстояние до отражаемых от поверхности участков дна)
$h = 1,5$ м (рост водолаза, т.е. высота его глаз над дном)
$n = 4/3$ (показатель преломления воды, показатель преломления воздуха принимаем за 1)

Найти:

$\text{H}$ - глубина водоема.

Решение:

Водолаз видит отраженными от поверхности воды те участки дна, лучи света от которых падают на границу раздела вода-воздух под углом, большим или равным критическому углу полного внутреннего отражения. Граница видимой области соответствует лучу, идущему от точки P на дне, который падает на поверхность воды в точке Q под критическим углом $\alpha_{cr}$. Этот луч после отражения попадает в глаз водолаза E.

Пусть $\text{H}$ — глубина водоема. Водолаз стоит на дне, поэтому его глаза находятся на высоте $\text{h}$ от дна и на глубине $(H-h)$ от поверхности воды. Точка P на дне, с которой начинается наблюдение отражения, находится на горизонтальном расстоянии $\text{S}$ от водолаза.

Рассмотрим ход луча P-Q-E. Пусть $\text{x}$ — горизонтальное расстояние от точки падения луча на поверхность Q до вертикали, проходящей через глаз водолаза. Тогда горизонтальное расстояние от точки P до вертикали, проходящей через Q, равно $(S-x)$.

Согласно закону отражения, угол падения луча PQ на поверхность равен углу отражения луча QE. Обозначим эти углы (между лучами и нормалью к поверхности) как $\alpha$.

Из геометрии задачи, используя прямоугольные треугольники, можно выразить тангенс угла $\alpha$:
Из треугольника, связанного с падающим лучом: $\tan \alpha = \frac{S-x}{H}$.
Из треугольника, связанного с отраженным лучом: $\tan \alpha = \frac{x}{H-h}$.

Приравнивая выражения для тангенса, получаем: $$ \frac{S-x}{H} = \frac{x}{H-h} $$

По условию, на границе видимости угол падения равен критическому углу полного внутреннего отражения $\alpha = \alpha_{cr}$. Синус критического угла определяется соотношением показателей преломления воды ($\text{n}$) и воздуха ($n_{air} \approx 1$): $$ \sin \alpha_{cr} = \frac{n_{air}}{n} = \frac{1}{n} $$

Зная синус, найдем тангенс критического угла, используя тригонометрическое тождество $\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}$: $$ \tan^2 \alpha_{cr} = \frac{(1/n)^2}{1 - (1/n)^2} = \frac{1/n^2}{(n^2-1)/n^2} = \frac{1}{n^2-1} $$ $$ \tan \alpha_{cr} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \tan \alpha = \frac{x}{H-h} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} $$ $$ \tan \alpha = \frac{S-x}{H} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} $$

Из первого уравнения выразим $\text{x}$: $$ x = \frac{H-h}{\sqrt{n^2-1}} $$ Из второго уравнения выразим $S-x$: $$ S-x = \frac{H}{\sqrt{n^2-1}} $$

Сложим левые и правые части этих двух уравнений: $$ x + (S-x) = \frac{H-h}{\sqrt{n^2-1}} + \frac{H}{\sqrt{n^2-1}} $$ $$ S = \frac{H-h+H}{\sqrt{n^2-1}} = \frac{2H-h}{\sqrt{n^2-1}} $$

Выразим из этого уравнения искомую глубину $\text{H}$: $$ S \sqrt{n^2-1} = 2H - h $$ $$ 2H = S \sqrt{n^2-1} + h $$ $$ H = \frac{S \sqrt{n^2-1} + h}{2} $$

Подставим числовые значения. Показатель преломления воды $n = 4/3$. $$ \sqrt{n^2-1} = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1} = \sqrt{\frac{16}{9} - 1} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3} $$ $$ H = \frac{15 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} + 1,5}{2} = \frac{5\sqrt{7} + 1,5}{2} $$ Используя приближенное значение $\sqrt{7} \approx 2,646$: $$ H \approx \frac{5 \cdot 2,646 + 1,5}{2} = \frac{13,23 + 1,5}{2} = \frac{14,73}{2} = 7,365 \text{ м} $$

Ответ: глубина, на которой находится водолаз, составляет приблизительно 7,37 м.