Задание 4, страница 143 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 4

1. Исследуйте зависимость размера изображения от расстояния предмета до оптического центра рассеивающей линзы (рис. 174).

2. Убедитесь в том, что все изображения мнимые, прямые, уменьшенные и находятся в интервале $ ext{OF}$.

3. Сравните с изображением в выпуклом сферическом зеркале.

Рис. 174. Построение изображения в рассеивающей линзе

1. Исследуйте зависимость размера изображения от расстояния предмета до оптического центра рассеивающей линзы (рис. 174).

Для анализа зависимости размера изображения от расстояния до предмета воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой увеличения. Формула тонкой линзы имеет вид: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, а $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние является отрицательной величиной ($F < 0$), а изображение, которое она дает, всегда мнимое, поэтому расстояние до него $\text{f}$ также отрицательно.

Запишем формулу с учетом знаков для рассеивающей линзы, используя абсолютные значения: $ \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} = -\frac{1}{|F|} $. Отсюда выразим расстояние до изображения $|f|$: $ \frac{1}{|f|} = \frac{1}{d} + \frac{1}{|F|} = \frac{d+|F|}{d|F|} $, следовательно, $ |f| = \frac{d|F|}{d+|F|} $.

Линейное увеличение линзы $ \Gamma $ равно отношению размера изображения $H'$ к размеру предмета $\text{H}$ и определяется как $ \Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{|f|}{d} $. Подставим в эту формулу выражение для $|f|$: $ \Gamma = \frac{d|F|}{d(d+|F|)} = \frac{|F|}{d+|F|} $.

Размер изображения $H'$ равен $H' = H \cdot \Gamma = H \cdot \frac{|F|}{d+|F|}$.

Проанализируем эту зависимость:

• Когда расстояние до предмета $\text{d}$ увеличивается (предмет удаляется от линзы), знаменатель дроби $d+|F|$ также увеличивается. Это приводит к уменьшению увеличения $ \Gamma $, и, следовательно, к уменьшению размера изображения $H'$. В пределе, когда предмет находится в бесконечности ($d \to \infty$), его изображение формируется в фокусе ($|f| \to |F|$) и его размер стремится к нулю.
• Когда расстояние до предмета $\text{d}$ уменьшается (предмет приближается к линзе), знаменатель $d+|F|$ уменьшается. Это приводит к увеличению увеличения $ \Gamma $ и размера изображения $H'$. В пределе, когда предмет находится вплотную к линзе ($d \to 0$), увеличение стремится к единице ($\Gamma \to 1$), а размер изображения стремится к размеру предмета ($H' \to H$).

Ответ: При удалении предмета от оптического центра рассеивающей линзы размер его изображения уменьшается. При приближении предмета к линзе размер его изображения увеличивается, но всегда остается меньше размера самого предмета.

2. Убедитесь в том, что все изображения мнимые, прямые, уменьшенные и находятся в интервале OF.

Используя формулы из предыдущего пункта, проверим характеристики изображения, даваемого рассеивающей линзой для действительного предмета ($d > 0$).

• Мнимые: Изображение является мнимым, если оно формируется на той же стороне линзы, что и предмет. Для линзы это соответствует отрицательному значению расстояния $\text{f}$. Из формулы тонкой линзы $ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $. Так как для рассеивающей линзы $F<0$ и для действительного предмета $d>0$, правая часть $ \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $ всегда является суммой двух отрицательных чисел и, следовательно, всегда отрицательна. Значит, $\text{f}$ всегда отрицательно, что доказывает, что изображение всегда мнимое.
• Прямые: Изображение является прямым, если его ориентация совпадает с ориентацией предмета. Это соответствует положительному значению увеличения $ \Gamma $. Как мы получили ранее, $ \Gamma = \frac{|F|}{d+|F|} $. Поскольку абсолютное значение фокусного расстояния $|F|$ и расстояние до предмета $\text{d}$ являются положительными величинами, увеличение $ \Gamma $ всегда положительно. Следовательно, изображение всегда прямое.
• Уменьшенные: Изображение является уменьшенным, если его размер меньше размера предмета, что соответствует увеличению $ \Gamma < 1 $. В формуле $ \Gamma = \frac{|F|}{d+|F|} $ знаменатель $d+|F|$ всегда больше числителя $|F|$, так как $d>0$. Таким образом, дробь всегда меньше единицы. Следовательно, изображение всегда уменьшенное.
• Находятся в интервале OF: Это означает, что расстояние от изображения до центра линзы $|f|$ меньше фокусного расстояния $|F|$. Мы вывели, что $ |f| = \frac{d|F|}{d+|F|} $. Эту формулу можно переписать как $ |f| = |F| \cdot (\frac{d}{d+|F|}) $. Поскольку $d>0$, множитель $ \frac{d}{d+|F|} $ всегда меньше 1. Отсюда следует, что $|f| < |F|$. Это доказывает, что мнимое изображение всегда расположено между оптическим центром линзы (O) и ее мнимым фокусом (F).

Ответ: Аналитически доказано, что для любого действительного предмета рассеивающая линза всегда дает мнимое, прямое, уменьшенное изображение, которое находится между фокусом и оптическим центром линзы.

3. Сравните с изображением в выпуклом сферическом зеркале.

Выпуклое сферическое зеркало, так же как и рассеивающая линза, является рассеивающей оптической системой.

Формула сферического зеркала: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $. Для выпуклого зеркала фокусное расстояние $\text{F}$ отрицательно ($F = -R/2 < 0$, где $\text{R}$ - радиус кривизны). Изображение, формируемое за зеркалом, считается мнимым, и для него $f<0$.

Характеристики изображения в выпуклом зеркале:

• Мнимое: Из формулы зеркала $ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $. Так как $F<0$ и $d>0$, то $\text{f}$ всегда отрицательно. Для зеркала это означает, что изображение мнимое и находится за зеркалом.
• Прямое: Увеличение зеркала определяется как $ \Gamma = -\frac{f}{d} $. Поскольку $\text{f}$ всегда отрицательно, $ \Gamma = -\frac{-|f|}{d} = \frac{|f|}{d} $, что всегда является положительной величиной. Следовательно, изображение всегда прямое.
• Уменьшенное: Выражение для увеличения будет таким же, как и для рассеивающей линзы: $ \Gamma = \frac{|F|}{d+|F|} < 1 $. Таким образом, изображение всегда уменьшенное.
• Расположение: Изображение всегда находится за зеркалом на расстоянии $|f| < |F|$ от его полюса, то есть между полюсом и фокусом.

Сравнение:

Сходства: И выпуклое зеркало, и рассеивающая линза для любого действительного предмета всегда создают мнимое, прямое и уменьшенное изображение. Математические формулы, описывающие положение и увеличение, идентичны. В обоих случаях изображение расположено между оптическим элементом (центром линзы или полюсом зеркала) и его фокусом.

Различие: Основное различие заключается в расположении мнимого изображения относительно оптического прибора. В рассеивающей линзе мнимое изображение находится с той же стороны, что и сам предмет (перед линзой). В выпуклом зеркале мнимое изображение находится с противоположной стороны от предмета (за зеркалом).

Ответ: Изображение в выпуклом сферическом зеркале по своим характеристикам (мнимое, прямое, уменьшенное) полностью аналогично изображению в рассеивающей линзе. Отличие состоит в том, что у линзы мнимое изображение находится по ту же сторону, что и предмет, а у зеркала — за его поверхностью.