Номер 3, страница 18 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Какие законы используют для описания процессов в колебательной системе?

Для описания процессов в колебательных системах используют фундаментальные законы физики, которые приводят к дифференциальным уравнениям, описывающим движение или изменение состояния системы во времени. Выбор конкретных законов зависит от природы колебательной системы (механическая, электромагнитная и т.д.).

1. Механические колебательные системы

Основным законом для описания движения в механических системах является второй закон Ньютона. Он связывает силы, действующие на тело, с его ускорением:

$\sum \vec{F} = m\vec{a}$

где $\sum \vec{F}$ – векторная сумма всех сил, $\text{m}$ – масса тела, $\vec{a}$ – его ускорение.

Для того чтобы возникли гармонические колебания, на систему должна действовать возвращающая сила, пропорциональная смещению от положения равновесия и направленная к нему. Например, для пружинного маятника такой силой является сила упругости, описываемая законом Гука:

$F_{упр} = -kx$

где $\text{k}$ – жёсткость пружины, $\text{x}$ – смещение от положения равновесия.

Применяя второй закон Ньютона ($ma = -kx$, где ускорение $a = \frac{d^2x}{dt^2}$), получаем основное уравнение свободных незатухающих колебаний:

$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ или, в более короткой записи, $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$, где $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ – собственная циклическая частота колебаний.

Решением этого уравнения является гармонический закон $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$.

Для идеальных систем (без трения) также применим закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия системы, состоящая из кинетической и потенциальной, остается постоянной:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$

Этот закон позволяет альтернативным способом анализировать колебания.

При наличии сил сопротивления (трения), которые часто моделируются как пропорциональные скорости ($F_{сопр} = -b\dot{x}$), второй закон Ньютона приводит к уравнению затухающих колебаний: $m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$.

2. Электромагнитные колебательные системы

В случае электрических колебательных систем, таких как колебательный контур (LC-контур), аналогом второго закона Ньютона является второй закон Кирхгофа (правило контуров). Он гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на всех элементах замкнутого контура равна нулю (если в контуре нет внешних источников ЭДС).

Для идеального LC-контура (без сопротивления):

$U_L + U_C = 0$

где $U_L = L \frac{dI}{dt}$ – падение напряжения на катушке индуктивности, а $U_C = \frac{q}{C}$ – напряжение на конденсаторе. Учитывая, что сила тока $I = \frac{dq}{dt} = \dot{q}$, получаем:

$L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$ или $L\ddot{q} + \frac{1}{C}q = 0$.

Это уравнение можно переписать в стандартном виде: $\ddot{q} + \omega_0^2 q = 0$, где $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ – собственная частота контура.

Здесь также применим закон сохранения энергии. Полная энергия электромагнитного поля в контуре, состоящая из энергии магнитного поля катушки и энергии электрического поля конденсатора, сохраняется:

$W = W_L + W_C = \frac{LI^2}{2} + \frac{q^2}{2C} = \text{const}$

В реальном RLC-контуре (с активным сопротивлением R) уравнение, полученное из закона Кирхгофа, описывает затухающие колебания: $L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{1}{C}q = 0$.

Ответ: Для описания процессов в колебательных системах используются фундаментальные физические законы: второй закон Ньютона (для механических систем), второй закон Кирхгофа (для электрических систем), а также специфические законы, определяющие характер сил или напряжений (например, закон Гука). Для идеальных систем без потерь энергии также фундаментальную роль играет закон сохранения энергии. Применение этих законов приводит к дифференциальным уравнениям гармонических колебаний, решения которых описывают изменение состояния системы во времени.