Ответьте на вопросы, страница 15 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопросы

1. При каком условии изменение заряда на обкладках конденсатора описывается
законом $q = q_m \cos \omega_0 t$? (7)

2. При каком условии необходимо использовать закон $q = q_m \sin \omega_0 t$? (8)

3. При каком условии законы примут вид: $q = q_m \cos(\omega_0 t + \varphi_0)$ или $q = q_m \sin(\omega_0 t + \varphi_0)$? (9)

1. При каком условии изменение заряда на обкладках конденсатора описывается законом $q = q_m \cos{\omega_0 t}$?

Данный закон описывает гармонические колебания заряда на обкладках конденсатора. Чтобы определить условие, при котором используется именно эта формула, проанализируем начальные условия, то есть состояние системы в момент времени $t=0$.

Подставим $t=0$ в уравнение заряда:

$q(0) = q_m \cos(\omega_0 \cdot 0) = q_m \cos(0) = q_m$

Это означает, что в начальный момент времени заряд на конденсаторе максимален. В колебательном контуре это соответствует моменту, когда конденсатор полностью заряжен.

Сила тока в контуре определяется как производная заряда по времени: $i(t) = q'(t)$.

$i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos{\omega_0 t}) = -q_m \omega_0 \sin{\omega_0 t}$

В начальный момент времени $t=0$ сила тока равна:

$i(0) = -q_m \omega_0 \sin(\omega_0 \cdot 0) = -q_m \omega_0 \sin(0) = 0$

Таким образом, сила тока в контуре в начальный момент времени равна нулю. Это означает, что вся энергия колебательного контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора.

Ответ: Закон $q = q_m \cos{\omega_0 t}$ используется, если в начальный момент времени ($t=0$) заряд на обкладках конденсатора имеет максимальное значение ($q=q_m$), а сила тока в контуре равна нулю.

2. При каком условии необходимо использовать закон $q = q_m \sin{\omega_0 t}$?

Аналогично первому пункту, проанализируем начальные условия для закона $q = q_m \sin{\omega_0 t}$ при $t=0$.

Подставим $t=0$ в уравнение заряда:

$q(0) = q_m \sin(\omega_0 \cdot 0) = q_m \sin(0) = 0$

В начальный момент времени заряд на конденсаторе равен нулю. Это означает, что конденсатор полностью разряжен, и система проходит положение равновесия.

Найдем силу тока в контуре как производную заряда по времени:

$i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \sin{\omega_0 t}) = q_m \omega_0 \cos{\omega_0 t}$

В начальный момент времени $t=0$ сила тока равна:

$i(0) = q_m \omega_0 \cos(\omega_0 \cdot 0) = q_m \omega_0 \cos(0) = q_m \omega_0 = I_m$

Сила тока в этот момент имеет максимальное (амплитудное) значение. Это означает, что вся энергия колебательного контура сосредоточена в магнитном поле катушки индуктивности.

Ответ: Закон $q = q_m \sin{\omega_0 t}$ используется, если в начальный момент времени ($t=0$) заряд на обкладках конденсатора равен нулю ($q=0$), а сила тока в контуре имеет максимальное значение ($i=I_m$).

3. При каком условии законы примут вид: $q = q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)$ или $q = q_m \sin(\omega_0 t + \phi_0)$?

Эти уравнения являются общим решением дифференциального уравнения, описывающего колебания в LC-контуре. Они используются в общем случае, когда начальные условия произвольны.

Величина $\phi_0$ называется начальной фазой колебаний. Она определяет состояние колебательной системы (значения заряда и силы тока) в начальный момент времени $t=0$.

Рассмотрим закон $q = q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)$. При $t=0$ имеем:

Начальный заряд: $q(0) = q_m \cos(\phi_0)$

Начальная сила тока: $i(0) = -q_m \omega_0 \sin(\phi_0)$

Как видно из формул, при наличии ненулевой начальной фазы $\phi_0$ (которая не кратна $\pi/2$), в начальный момент времени заряд на конденсаторе не является ни максимальным, ни нулевым ($0 < |q(0)| < q_m$), и сила тока также не является ни максимальной, ни нулевой ($0 < |i(0)| < I_m$). Это означает, что в начальный момент времени энергия контура распределена между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки индуктивности.

Выбор между функцией косинуса и синуса с начальной фазой является вопросом удобства, так как они связаны соотношением $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \pi/2)$.

Ответ: Законы $q = q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)$ или $q = q_m \sin(\omega_0 t + \phi_0)$ используются в общем случае, когда отсчет времени начинается в произвольный момент, то есть когда в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе и сила тока в контуре имеют произвольные значения, не обязательно равные нулю или своему максимальному значению.