Номер 4, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Математический маятник совершает колебания по закону $x = 0,02 \sin \left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Определите смещение точки от положения равновесия при $t = \frac{T}{4}$ и амплитуду ускорения.

Дано:

Уравнение колебаний: $x = 0,02 \sin(\frac{\pi}{2}t)$ (все величины в СИ)

Момент времени для определения смещения: $t = \frac{T}{4}$

Найти:

1. Смещение $\text{x}$ при $t = \frac{T}{4}$

2. Амплитуду ускорения $a_{max}$

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая это уравнение с данным в задаче $x = 0,02 \sin(\frac{\pi}{2}t)$, мы можем определить параметры колебаний:

Амплитуда смещения: $A = 0,02$ м.

Циклическая частота: $\omega = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Начальная фаза: $\phi_0 = 0$.

Смещение точки от положения равновесия при $t = \frac{T}{4}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение циклической частоты:

$T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ с.

Теперь найдем момент времени, для которого требуется определить смещение:

$t = \frac{T}{4} = \frac{4 \text{ с}}{4} = 1$ с.

Подставим значение $t = 1$ с в исходное уравнение колебаний:

$x(1) = 0,02 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = 0,02 \sin(\frac{\pi}{2})$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$x(1) = 0,02 \cdot 1 = 0,02$ м.

Ответ: смещение точки от положения равновесия при $t = \frac{T}{4}$ равно 0,02 м.

Амплитуда ускорения

Ускорение $a(t)$ является второй производной по времени от смещения $x(t)$. В общем виде уравнение для ускорения при гармонических колебаниях выглядит так:

$a(t) = x''(t) = \frac{d^2}{dt^2} (A \sin(\omega t)) = -A \omega^2 \sin(\omega t)$.

Амплитуда ускорения $a_{max}$ — это максимальное значение модуля ускорения, которое достигается, когда $|\sin(\omega t)| = 1$.

Таким образом, формула для амплитуды ускорения:

$a_{max} = A \omega^2$.

Подставим известные значения амплитуды $A = 0,02$ м и циклической частоты $\omega = \frac{\pi}{2}$ рад/с:

$a_{max} = 0,02 \cdot (\frac{\pi}{2})^2 = 0,02 \cdot \frac{\pi^2}{4} = 0,005\pi^2$ м/с².

Вычислим приближенное значение, используя $\pi^2 \approx 9,87$:

$a_{max} \approx 0,005 \cdot 9,87 \approx 0,04935$ м/с².

Ответ: амплитуда ускорения равна $0,005\pi^2$ м/с², что приблизительно составляет 0,049 м/с².