Задание 1, страница 14 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Сравните уравнение (14) из § 1 описывающее механическое колебание, с уравнением (6) для электромагнитных колебаний.

2. На основе аналогии величин запишите законы изменения заряда на обкладках конденсатора.

1. Сравните уравнение (14) из § 1 описывающее механическое колебание, с уравнением (6) для электромагнитных колебаний.

Решение

Уравнение (14) для свободных незатухающих механических колебаний, например, пружинного маятника, имеет вид:

$x'' + \frac{k}{m}x = 0$,

или

$x'' + \omega^2 x = 0$,

где $\text{x}$ – смещение тела от положения равновесия, $x''$ – его вторая производная по времени (ускорение), $\text{m}$ – масса тела, $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ – циклическая частота механических колебаний.

Уравнение (6) для свободных незатухающих электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) имеет вид:

$q'' + \frac{1}{LC}q = 0$,

или

$q'' + \omega^2 q = 0$,

где $\text{q}$ – заряд на обкладках конденсатора, $q''$ – его вторая производная по времени, $\text{L}$ – индуктивность катушки, $\text{C}$ – емкость конденсатора, а $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ – циклическая частота электромагнитных колебаний.

При сравнении этих двух дифференциальных уравнений видно, что они имеют одинаковую математическую структуру. Оба являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Это означает, что физические процессы, которые они описывают, — механические и электромагнитные колебания — являются гармоническими и подчиняются идентичным математическим законам. На основе этого можно установить соответствие (аналогию) между физическими величинами:

• Механическая величина ↔ Электромагнитная величина

• Смещение $\text{x}$ ↔ Заряд $\text{q}$

• Скорость $v = x'$ ↔ Сила тока $I = q'$

• Масса $\text{m}$ (мера инертности) ↔ Индуктивность $\text{L}$ (мера "электромагнитной инертности")

• Коэффициент жесткости $\text{k}$ ↔ Величина, обратная емкости, $\frac{1}{C}$

• Кинетическая энергия $E_k = \frac{mv^2}{2}$ ↔ Энергия магнитного поля $W_M = \frac{LI^2}{2}$

• Потенциальная энергия $E_p = \frac{kx^2}{2}$ ↔ Энергия электрического поля $W_E = \frac{q^2}{2C}$

Ответ: Уравнения, описывающие свободные механические и электромагнитные колебания ($x'' + \frac{k}{m}x = 0$ и $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$ соответственно), математически идентичны. Это позволяет провести аналогию между физическими величинами, характеризующими эти два процесса: смещение $\text{x}$ аналогично заряду $\text{q}$, масса $\text{m}$ — индуктивности $\text{L}$, а жесткость $\text{k}$ — величине, обратной емкости $\frac{1}{C}$.

2. На основе аналогии величин запишите законы изменения заряда на обкладках конденсатора.

Решение

Решением дифференциального уравнения гармонических механических колебаний $x'' + \omega^2 x = 0$ является закон изменения смещения со временем:

$x(t) = x_m \cos(\omega t + \phi_0)$,

где $x_m$ – амплитуда колебаний (максимальное смещение), $\omega$ – циклическая частота, $\text{t}$ – время, $\phi_0$ – начальная фаза колебаний.

Используя аналогию, установленную в предыдущем пункте, можно записать аналогичный закон для электромагнитных колебаний. Для этого в уравнении для механических колебаний заменим величины на их электрические аналоги:

• смещение $\text{x}$ заменяем на заряд $\text{q}$;

• амплитуду смещения $x_m$ заменяем на амплитуду заряда $q_m$;

• циклическую частоту $\omega$ для механической системы заменяем на циклическую частоту для LC-контура $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

В результате получаем закон изменения заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$,

Подставив выражение для частоты, получим:

$q(t) = q_m \cos(\frac{1}{\sqrt{LC}} t + \phi_0)$.

В зависимости от выбора начального момента времени (начальных условий) закон может быть также представлен через синус:

$q(t) = q_m \sin(\omega t + \phi_0)$.

Ответ: На основе аналогии с механическими колебаниями, законы изменения заряда на обкладках конденсатора со временем описываются гармоническими функциями: $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$ или $q(t) = q_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $q_m$ – максимальный заряд (амплитуда заряда), $\phi_0$ – начальная фаза, а $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ – собственная циклическая частота колебательного контура.