Номер 5, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. Груз массой 200 г, подвешенный на пружине, колеблется с той же частотой, что и математический маятник длиной 0,2 м. Определите коэффициент жесткости пружины.

Дано:

Масса груза, $m = 200$ г
Длина математического маятника, $l = 0,2$ м
Частота колебаний пружинного маятника равна частоте колебаний математического маятника, $\nu_1 = \nu_2$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

Коэффициент жесткости пружины, $\text{k}$

Решение:

Колебания груза на пружине (пружинный маятник) и колебания математического маятника являются гармоническими. Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ - масса груза, $\text{k}$ - коэффициент жесткости пружины.

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ - длина маятника, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Частота колебаний $\nu$ связана с периодом $\text{T}$ соотношением $\nu = \frac{1}{T}$. Согласно условию задачи, частоты колебаний обоих маятников равны: $\nu_1 = \nu_2$. Это означает, что их периоды также равны: $T_1 = T_2$.

Приравняем правые части формул для периодов:

$2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$ и возведем в квадрат:

$\frac{m}{k} = \frac{l}{g}$

Выразим из этого равенства искомый коэффициент жесткости $\text{k}$:

$k = \frac{m \cdot g}{l}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$k = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{0,2 \text{ м}} = 10 \text{ Н/м}$

Ответ: коэффициент жесткости пружины равен 10 Н/м.