Экспериментальное задание, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Экспериментальное задание

Определите амплитуду и период колебаний маятника часов.

По полученным значениям постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника.

Определите амплитуду и период колебаний маятника часов.

Поскольку это экспериментальное задание, а реальный эксперимент провести невозможно, мы опишем методику измерений и воспользуемся типичными для маятника часов значениями.

1. Определение амплитуды (A)
Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение маятника от положения равновесия. Для её измерения необходимо с помощью линейки или измерительной ленты замерить расстояние от центрального (нижнего) положения маятника до его крайнего положения. Для большей точности можно измерить полный размах колебаний (расстояние между двумя крайними точками траектории) и разделить полученное значение на два.
Пример измерения: Допустим, полный размах колебаний маятника составил 10 см. Тогда амплитуда будет равна:
$A = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

2. Определение периода (T)
Период колебаний — это время одного полного колебания (например, от крайнего правого положения до крайнего левого и обратно). Для точного измерения периода следует с помощью секундомера измерить время $\text{t}$, за которое маятник совершает большое число $\text{N}$ полных колебаний (например, 20-30). Период рассчитывается по формуле: $T = \frac{t}{N}$.
Пример измерения: Допустим, маятник совершил $N = 20$ полных колебаний за время $t = 40$ секунд. Тогда период равен:
$T = \frac{40 \text{ с}}{20} = 2 \text{ с}$

Ответ: В результате гипотетических измерений были получены следующие значения: амплитуда колебаний $A = 5$ см, период колебаний $T = 2$ с.

По полученным значениям постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника.

Дано:

Амплитуда колебаний: $A = 5 \text{ см}$
Период колебаний: $T = 2 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:
$A = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Построить графики зависимостей $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$.

Решение:

Колебания маятника часов можно с достаточной точностью считать гармоническими. Уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$. Для простоты примем, что в начальный момент времени ($t=0$) маятник находился в крайнем правом положении, то есть $x(0) = A$. В этом случае начальная фаза $\phi_0 = 0$, и уравнение движения принимает вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$

Найдем циклическую частоту $\omega$ через период $\text{T}$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2 \text{ с}} = \pi \text{ рад/с}$

1. График зависимости координаты от времени $x(t)$
Подставив значения $\text{A}$ и $\omega$, получим уравнение зависимости координаты от времени:
$x(t) = 0.05 \cos(\pi t)$ (в метрах)

График этой зависимости — косинусоида.
- Ось ординат — координата $\text{x}$, м. Ось абсцисс — время $\text{t}$, с.
- Амплитуда колебаний равна $A = 0.05$ м.
- В момент $t=0$, $x = 0.05$ м (максимальное отклонение).
- В момент $t = T/4 = 0.5$ с, $x = 0$ (положение равновесия).
- В момент $t = T/2 = 1$ с, $x = -0.05$ м (крайнее левое положение).
- В момент $t = 3T/4 = 1.5$ с, $x = 0$ (положение равновесия).
- В момент $t = T = 2$ с, $x = 0.05$ м (возврат в исходную точку).
(Графически это кривая косинуса, начинающаяся в точке (0; 0.05), с периодом 2 с).

2. График зависимости скорости от времени $v(t)$
Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.
$v(t) = (A \cos(\omega t))' = -A\omega \sin(\omega t)$
Амплитудное значение скорости: $v_{max} = A\omega = 0.05 \text{ м} \cdot \pi \text{ рад/с} = 0.05\pi \approx 0.157 \text{ м/с}$.
Уравнение зависимости скорости от времени:
$v(t) = -0.05\pi \sin(\pi t)$ (в м/с)

График этой зависимости — синусоида, инвертированная относительно оси времени (из-за знака «минус»).
- Ось ординат — скорость $\text{v}$, м/с. Ось абсцисс — время $\text{t}$, с.
- Амплитуда колебаний скорости равна $v_{max} \approx 0.157$ м/с.
- В момент $t=0$, $v = 0$ (в крайнем положении скорость равна нулю).
- В момент $t = T/4 = 0.5$ с, $v = -0.05\pi \approx -0.157$ м/с (максимальная по модулю скорость, направлена против оси x).
- В момент $t = T/2 = 1$ с, $v = 0$ (в другом крайнем положении скорость равна нулю).
- В момент $t = 3T/4 = 1.5$ с, $v = 0.05\pi \approx 0.157$ м/с (максимальная скорость, направлена вдоль оси x).
- В момент $t = T = 2$ с, $v = 0$.
(Графически это кривая синуса, отраженная относительно оси времени, с амплитудой $0.05\pi$ и периодом 2 с).

3. График зависимости ускорения от времени $a(t)$
Ускорение является первой производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$.
$a(t) = (-A\omega \sin(\omega t))' = -A\omega^2 \cos(\omega t)$
Амплитудное значение ускорения: $a_{max} = A\omega^2 = 0.05 \text{ м} \cdot (\pi \text{ рад/с})^2 = 0.05\pi^2 \approx 0.493 \text{ м/с}^2$.
Уравнение зависимости ускорения от времени:
$a(t) = -0.05\pi^2 \cos(\pi t)$ (в м/с²)

График этой зависимости — косинусоида, инвертированная относительно оси времени. Заметим, что $a(t) = -\omega^2 x(t)$, то есть ускорение всегда пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.
- Ось ординат — ускорение $\text{a}$, м/с². Ось абсцисс — время $\text{t}$, с.
- Амплитуда колебаний ускорения равна $a_{max} \approx 0.493$ м/с².
- В момент $t=0$, $a = -0.05\pi^2 \approx -0.493$ м/с² (в крайнем положении ускорение максимально и направлено к положению равновесия).
- В момент $t = T/4 = 0.5$ с, $a = 0$ (в положении равновесия ускорение равно нулю).
- В момент $t = T/2 = 1$ с, $a = 0.05\pi^2 \approx 0.493$ м/с² (в другом крайнем положении ускорение максимально).
- В момент $t = 3T/4 = 1.5$ с, $a = 0$.
- В момент $t = T = 2$ с, $a = -0.05\pi^2 \approx -0.493$ м/с².
(Графически это кривая косинуса, отраженная относительно оси времени, с амплитудой $0.05\pi^2$ и периодом 2 с).

Ответ: Уравнения движения маятника: $x(t) = 0.05 \cos(\pi t)$ (м), $v(t) = -0.05\pi \sin(\pi t)$ (м/с), $a(t) = -0.05\pi^2 \cos(\pi t)$ (м/с²). Графики зависимостей представляют собой косинусоиду для координаты, инвертированную синусоиду для скорости и инвертированную косинусоиду для ускорения. Период всех колебаний $T=2$ с, амплитуды равны $A=0.05$ м, $v_{max} \approx 0.157$ м/с, $a_{max} \approx 0.493$ м/с².