Номер 3, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид: $0.05 \sin \left(10\pi t + \frac{\pi}{4}\right)$. Определите смещение груза относительно положения равновесия при $t = \frac{T}{4}$ и амплитуду скорости.

Дано:

Уравнение колебаний: $x(t) = 0,05 \sin(10\pi t + \frac{\pi}{4})$

Все величины представлены в системе СИ (смещение в метрах, время в секундах).

Найти:

1. Смещение груза $\text{x}$ при $t = \frac{T}{4}$.

2. Амплитуду скорости $v_{max}$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ - амплитуда смещения, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

Сравнивая с данным уравнением $x(t) = 0,05 \sin(10\pi t + \frac{\pi}{4})$, находим параметры колебаний:

Амплитуда смещения: $A = 0,05$ м.

Циклическая частота: $\omega = 10\pi$ рад/с.

Начальная фаза: $\phi_0 = \frac{\pi}{4}$ рад.

Определение смещения груза относительно положения равновесия при $t = \frac{T}{4}$

Сначала найдем период колебаний $\text{T}$ через циклическую частоту $\omega$ по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$:

$T = \frac{2\pi}{10\pi} = \frac{1}{5} = 0,2$ с.

Теперь определим момент времени $\text{t}$, в который нужно найти смещение:

$t = \frac{T}{4} = \frac{0,2}{4} = 0,05$ с.

Подставим это значение времени в уравнение колебаний:

$x(0,05) = 0,05 \sin(10\pi \cdot 0,05 + \frac{\pi}{4})$

$x(0,05) = 0,05 \sin(0,5\pi + \frac{\pi}{4}) = 0,05 \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})$

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$x(0,05) = 0,05 \cos(\frac{\pi}{4})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$x(0,05) = 0,05 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,025\sqrt{2}$ м.

Ответ: Смещение груза в момент времени $t = \frac{T}{4}$ составляет $0,025\sqrt{2}$ м (приблизительно $0,035$ м).

Определение амплитуды скорости

Скорость $v(t)$ является первой производной от смещения $x(t)$ по времени: $v(t) = x'(t)$.

Продифференцируем уравнение смещения:

$v(t) = \frac{d}{dt} \left(0,05 \sin(10\pi t + \frac{\pi}{4})\right) = 0,05 \cdot \cos(10\pi t + \frac{\pi}{4}) \cdot (10\pi)$

$v(t) = 0,5\pi \cos(10\pi t + \frac{\pi}{4})$

Уравнение скорости имеет вид $v(t) = v_{max} \cos(\omega t + \phi')$, где $v_{max}$ — это амплитуда скорости. Амплитуда - это максимальное значение, которое принимает скорость, и она равна коэффициенту перед косинусом.

Следовательно, амплитуда скорости равна:

$v_{max} = 0,5\pi$ м/с.

Этот же результат можно получить по формуле $v_{max} = A \cdot \omega$:

$v_{max} = 0,05 \text{ м} \cdot 10\pi \text{ рад/с} = 0,5\pi$ м/с.

Ответ: Амплитуда скорости составляет $0,5\pi$ м/с (приблизительно $1,57$ м/с).