Эксперимент, страница 9 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент

Определите амплитуду и период колебаний пружинного маятника, максимальные значения скорости и ускорения, максимальное значение силы, действующей на тело.

По полученным значениям постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника.

Поскольку данная задача представляет собой описание эксперимента, для её решения необходимо принять некоторые исходные данные, которые могли бы быть получены в ходе этого эксперимента. Допустим, мы провели измерения для пружинного маятника, состоящего из груза и пружины, и получили следующие значения:

Дано:

Масса груза: $m = 0.2$ кг
Амплитуда колебаний: $A = 5$ см
Период колебаний: $T = 4$ с

Переведем данные в систему СИ:
$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Амплитуда $\text{A}$ - ?
Период $\text{T}$ - ?
Максимальная скорость $v_{\text{max}}$ - ?
Максимальное ускорение $a_{\text{max}}$ - ?
Максимальная сила $F_{\text{max}}$ - ?
Графики $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$

Решение:

Определите амплитуду и период колебаний пружинного маятника, максимальные значения скорости и ускорения, максимальное значение силы, действующей на тело.

Амплитуда и период колебаний были определены в ходе эксперимента.
Амплитуда $\text{A}$ — это максимальное отклонение тела от положения равновесия.
$A = 0.05$ м.
Период $\text{T}$ — это время одного полного колебания.

$T = 4$ с.

Гармонические колебания описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$. Для простоты положим, что колебания начинаются из положения максимального отклонения, тогда начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Уравнение движения: $x(t) = A \cos(\omega t)$.

Вычислим циклическую (круговую) частоту $\omega$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от координаты по времени:
$v(t) = x'(t) = (A \cos(\omega t))' = -A\omega \sin(\omega t)$.
Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) достигается, когда $|\sin(\omega t)| = 1$:
$v_{\text{max}} = A\omega = 0.05 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} = 0.025\pi \text{ м/с} \approx 0.0785$ м/с.

Ускорение тела $a(t)$ является первой производной от скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = (-A\omega \sin(\omega t))' = -A\omega^2 \cos(\omega t)$.
Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) достигается, когда $|\cos(\omega t)| = 1$:
$a_{\text{max}} = A\omega^2 = 0.05 \text{ м} \cdot (\frac{\pi}{2} \text{ рад/с})^2 = 0.05 \cdot \frac{\pi^2}{4} \text{ м/с}^2 = 0.0125\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 0.123$ м/с².

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна $F = ma$. Максимальная сила будет действовать на тело в моменты, когда ускорение максимально по модулю:
$F_{\text{max}} = m \cdot a_{\text{max}} = 0.2 \text{ кг} \cdot 0.123 \text{ м/с}^2 \approx 0.0246$ Н.
Проверим этот результат, вычислив силу через закон Гука. Для этого найдем жесткость пружины $\text{k}$ из формулы периода $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, откуда $k = m(\frac{2\pi}{T})^2 = m\omega^2$.
$k = 0.2 \text{ кг} \cdot (\frac{\pi}{2} \text{ рад/с})^2 = 0.2 \cdot \frac{\pi^2}{4} = 0.05\pi^2 \text{ Н/м} \approx 0.493$ Н/м.
Максимальная сила упругости (она же и есть максимальная возвращающая сила) равна $F_{\text{упр, max}} = kA$.
$F_{\text{max}} = 0.493 \text{ Н/м} \cdot 0.05 \text{ м} \approx 0.02465$ Н.
Результаты совпадают.

Ответ: Амплитуда колебаний $A = 0.05$ м. Период колебаний $T = 4$ с. Максимальное значение скорости $v_{\text{max}} \approx 0.0785$ м/с. Максимальное значение ускорения $a_{\text{max}} \approx 0.123$ м/с². Максимальное значение силы $F_{\text{max}} \approx 0.0247$ Н.

По полученным значениям постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника.

На основе полученных значений, запишем уравнения зависимости координаты, скорости и ускорения от времени:
1. Координата: $x(t) = 0.05 \cos(\frac{\pi}{2}t)$ (в метрах).
График этой зависимости — косинусоида. В момент времени $t=0$ координата максимальна ($x=0.05$ м). В момент $t=T/4=1$ с координата равна нулю. В момент $t=T/2=2$ с координата минимальна ($x=-0.05$ м). В момент $t=3T/4=3$ с координата снова равна нулю. В момент $t=T=4$ с тело возвращается в исходное положение ($x=0.05$ м).

2. Скорость: $v(t) = -0.025\pi \sin(\frac{\pi}{2}t) \approx -0.0785 \sin(\frac{\pi}{2}t)$ (в м/с).
График этой зависимости — синусоида, инвертированная относительно оси времени. График скорости сдвинут по фазе на $\pi/2$ (опережает координату на $T/4$) или, что то же самое, на $-\pi/2$ относительно косинуса. В момент времени $t=0$ скорость равна нулю. В момент $t=T/4=1$ с скорость достигает своего минимального (максимального по модулю отрицательного) значения $v \approx -0.0785$ м/с. В момент $t=T/2=2$ с скорость снова равна нулю. В момент $t=3T/4=3$ с скорость достигает максимального положительного значения $v \approx 0.0785$ м/с. В момент $t=T=4$ с скорость опять становится равной нулю.

3. Ускорение: $a(t) = -0.0125\pi^2 \cos(\frac{\pi}{2}t) \approx -0.123 \cos(\frac{\pi}{2}t)$ (в м/с²).
График этой зависимости — косинусоида, инвертированная относительно оси времени. График ускорения находится в противофазе с графиком координаты (сдвиг фаз равен $\pi$ или $T/2$). В момент времени $t=0$, когда смещение максимально, ускорение также максимально по модулю, но направлено в противоположную сторону ($a \approx -0.123$ м/с²). В момент $t=T/4=1$ с, когда тело проходит положение равновесия, ускорение равно нулю. В момент $t=T/2=2$ с, когда смещение минимально, ускорение достигает своего максимального положительного значения ($a \approx 0.123$ м/с²).

Ответ: Графики зависимостей $x(t)$, $v(t)$ и $a(t)$ представляют собой гармонические функции (косинусоиды и синусоиды) с периодом $T=4$ с и амплитудами $A_x = 0.05$ м, $A_v \approx 0.0785$ м/с, $A_a \approx 0.123$ м/с² соответственно. График скорости сдвинут по фазе на $\pi/2$ относительно графика координаты (опережает), а график ускорения находится в противофазе (сдвиг на $\pi$).