Задание 3, страница 7 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Определите зависимость коэффициента пропорциональности силы, приводящей в колебательное движение деревянного кубика, от смещения.

Дано:

Рассматривается деревянный кубик, совершающий малые вертикальные колебания в жидкости.
$\text{F}$ – сила, приводящая кубик в колебательное движение (возвращающая сила).
$\text{x}$ – смещение кубика от положения равновесия.
$\text{k}$ – искомый коэффициент пропорциональности.
$\text{L}$ – длина ребра кубика.
$\text{S}$ – площадь основания кубика, $S = L^2$.
$\rho_j$ – плотность жидкости.
$\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Найти:

Зависимость коэффициента пропорциональности $\text{k}$ от смещения $\text{x}$.

Решение:

Сила, приводящая тело в колебательное движение, является возвращающей силой. Для гармонических колебаний она подчиняется закону $F = -kx$, где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности (часто называемый жесткостью системы), а $\text{x}$ – смещение от положения равновесия. Наша задача – найти выражение для $\text{k}$ в случае плавающего кубика и определить, зависит ли оно от $\text{x}$.

Когда деревянный кубик плавает в жидкости, он находится в равновесии под действием силы тяжести $F_g$, направленной вниз, и выталкивающей (архимедовой) силы $F_{A,0}$, направленной вверх. В положении равновесия эти силы равны: $F_g = F_{A,0}$.

Если сместить кубик из положения равновесия вертикально вниз на небольшое расстояние $\text{x}$, то объем погруженной части тела увеличится на величину $\Delta V = S \cdot x$, где $S=L^2$ – площадь основания кубика.
Это приведет к увеличению выталкивающей силы на величину $\Delta F_A$. Согласно закону Архимеда, это изменение силы равно:
$\Delta F_A = \rho_j \cdot g \cdot \Delta V = \rho_j \cdot g \cdot S \cdot x = \rho_j g L^2 x$.

Эта дополнительная сила $\Delta F_A$ направлена вверх, то есть в сторону, противоположную смещению $\text{x}$. Она и является возвращающей силой $\text{F}$, которая стремится вернуть кубик в положение равновесия.
Таким образом, для возвращающей силы мы имеем выражение:
$F = -\Delta F_A = -(\rho_j g L^2) x$.
Знак "минус" указывает на то, что сила направлена противоположно смещению.

Теперь сравним полученное выражение с общей формулой для возвращающей силы при колебаниях: $F = -kx$.
$-(\rho_j g L^2) x = -kx$.

Из сравнения видно, что коэффициент пропорциональности $\text{k}$ для данной системы равен:
$k = \rho_j g L^2$.

Анализируя полученную формулу, мы видим, что коэффициент $\text{k}$ зависит от плотности жидкости $\rho_j$, ускорения свободного падения $\text{g}$ и размеров кубика (через площадь его основания $L^2$). Ни один из этих параметров не зависит от смещения $\text{x}$. Следовательно, и сам коэффициент пропорциональности $\text{k}$ не зависит от смещения $\text{x}$.

Ответ: Коэффициент пропорциональности силы, приводящей в колебательное движение деревянный кубик, не зависит от смещения. Для данной системы (кубик определенного размера и жидкость определенной плотности) он является постоянной величиной, равной $k = \rho_j g L^2$.