Задание 2, страница 6 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Колебания математического маятника происходят под действием равнодействующей сил, которая пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия (рис. 2): $F_R = -kx$. Используя рисунок 2, докажите, что коэффициент пропорциональности равнодействующей силы, действующей на математический маятник, и смещением равен: $k = \frac{mg}{l}$. (2)

Рис. 2. Силы, вызывающие колебания математического маятника

Решение

На математический маятник, отклоненный от положения равновесия, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_T$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{F}_H$, направленная вдоль нити. Колебания происходят под действием равнодействующей этих сил. Для анализа движения удобно разложить силу тяжести $\vec{F}_T$ на две составляющие: одну, направленную вдоль нити ($\vec{F}_C$ на рисунке), и другую, перпендикулярную нити, то есть направленную по касательной к траектории движения ($\vec{F}_R$ на рисунке).

Тангенциальная составляющая $\vec{F}_R$ является возвращающей силой, так как она всегда направлена к положению равновесия. Из рисунка видно, что векторы $\vec{F}_T$, $\vec{F}_C$ и $\vec{F}_R$ образуют прямоугольный треугольник, подобный треугольнику, образованному нитью маятника, вертикалью и горизонтальным смещением. Угол между вектором силы тяжести $\vec{F}_T$ (вертикаль) и направлением нити (вектор $\vec{F}_C$) равен углу отклонения маятника $\alpha$.

Из этого силового треугольника можно найти модуль возвращающей силы $F_R$:

$|F_R| = F_T \sin(\alpha)$

Модуль силы тяжести равен $F_T = mg$, где $\text{m}$ – масса маятника, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Тогда:

$|F_R| = mg \sin(\alpha)$

Поскольку возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению, ее проекция на ось $\text{x}$ имеет знак минус:

$F_R = -mg \sin(\alpha)$

В условии задачи дано, что для малых колебаний возвращающая сила пропорциональна смещению $\text{x}$ и может быть выражена как:

$F_R = -kx$

Приравнивая правые части двух выражений для $F_R$, получаем:

$kx = mg \sin(\alpha)$

Теперь обратимся к геометрии маятника, показанной на рисунке. Здесь $\text{l}$ – длина нити, $\text{x}$ – горизонтальное смещение от положения равновесия. Из большого прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является нить маятника, видно, что:

$\sin(\alpha) = \frac{x}{l}$

Подставим это соотношение в уравнение для сил:

$kx = mg \left(\frac{x}{l}\right)$

Для любого ненулевого смещения ($x \neq 0$) мы можем сократить обе части уравнения на $\text{x}$:

$k = \frac{mg}{l}$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: На основе анализа сил, действующих на маятник (согласно рисунку 2), было показано, что возвращающая сила $F_R$ равна $-mg \sin(\alpha)$. Из геометрии маятника следует, что $\sin(\alpha) = x/l$. Подставляя это в выражение для силы, получаем $F_R = - \frac{mg}{l}x$. Сравнивая полученное выражение с предоставленной в условии формулой $F_R = -kx$, мы заключаем, что коэффициент пропорциональности $\text{k}$ действительно равен $k = \frac{mg}{l}$.