Номер 1, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. При индуктивности колебательного контура 100 мкГн частота свободных электрических колебаний равна 2 МГц. Какой должна быть индуктивность контура при неизменной электроемкости, чтобы частота колебаний в контуре стала равной 4 МГц?

Дано:

$L_1 = 100$ мкГн
$f_1 = 2$ МГц
$f_2 = 4$ МГц
$C = \text{const}$

$L_1 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 10^{-4} \text{ Гн}$
$f_1 = 2 \cdot 10^6 \text{ Гц}$
$f_2 = 4 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Найти:

$L_2$

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{f}$ – частота колебаний, $\text{L}$ – индуктивность катушки, $\text{C}$ – электроемкость конденсатора.

Запишем эту формулу для начального состояния контура:

$f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C}}$

И для конечного состояния, с новой индуктивностью $L_2$ и неизменной электроемкостью $\text{C}$:

$f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C}}$

Чтобы найти связь между индуктивностями и частотами, можно составить систему из двух уравнений или найти их отношение. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C}}} = \frac{\sqrt{L_1 C}}{\sqrt{L_2 C}} = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}$

Из этого соотношения выразим искомую индуктивность $L_2$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{f_2}{f_1})^2 = \frac{L_1}{L_2}$

Отсюда находим $L_2$:

$L_2 = L_1 \cdot (\frac{f_1}{f_2})^2$

Подставим числовые значения. Можно использовать исходные единицы, так как их отношение будет безразмерной величиной:

$L_2 = 100 \text{ мкГн} \cdot (\frac{2 \text{ МГц}}{4 \text{ МГц}})^2 = 100 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25 \text{ мкГн}$

Ответ: чтобы частота колебаний в контуре стала равной 4 МГц, индуктивность контура должна быть 25 мкГн.