Номер 2, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Во сколько раз увеличится частота свободных электрических колебаний в контуре, если конденсаторы включить последовательно?

Дано:

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Емкость каждого из двух одинаковых конденсаторов: $\text{C}$

Начальное состояние: конденсаторы подключены параллельно.

Конечное состояние: конденсаторы подключены последовательно.

Найти:

Во сколько раз увеличится частота колебаний, то есть найти отношение $\frac{ν_2}{ν_1}$.

Решение:

Частота свободных электрических колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$ν = \frac{1}{2π\sqrt{LC_{общ}}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $C_{общ}$ — общая (эквивалентная) емкость батареи конденсаторов в контуре.

Рассмотрим два случая соединения конденсаторов.

1. Начальное состояние (конденсаторы включены параллельно).

При параллельном соединении двух одинаковых конденсаторов их общая емкость $C_1$ равна сумме их емкостей:

$C_1 = C + C = 2C$

Соответственно, начальная частота колебаний $ν_1$ в этом контуре равна:

$ν_1 = \frac{1}{2π\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2π\sqrt{L(2C)}} = \frac{1}{2π\sqrt{2LC}}$

2. Конечное состояние (конденсаторы включены последовательно).

При последовательном соединении двух одинаковых конденсаторов величина, обратная их общей емкости $C_2$, равна сумме величин, обратных емкостям каждого конденсатора:

$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$

Отсюда находим общую емкость $C_2$:

$C_2 = \frac{C}{2}$

Новая частота колебаний $ν_2$ в этом случае равна:

$ν_2 = \frac{1}{2π\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2π\sqrt{L(\frac{C}{2})}} = \frac{1}{2π\sqrt{\frac{LC}{2}}}$

3. Нахождение отношения частот.

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась частота, найдем отношение конечной частоты $ν_2$ к начальной $ν_1$:

$\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{\frac{1}{2π\sqrt{\frac{LC}{2}}}}{\frac{1}{2π\sqrt{2LC}}}$

Сократив общий множитель $\frac{1}{2π}$, получим:

$\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\frac{LC}{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{2LC}}} = \frac{\sqrt{2LC}}{\sqrt{\frac{LC}{2}}}$

Используя свойство корня $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, преобразуем выражение:

$\frac{ν_2}{ν_1} = \sqrt{\frac{2LC}{\frac{LC}{2}}} = \sqrt{2LC \cdot \frac{2}{LC}} = \sqrt{\frac{4LC}{LC}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, при переключении конденсаторов с параллельного соединения на последовательное, частота свободных колебаний в контуре увеличится в 2 раза.

Ответ: частота свободных электрических колебаний в контуре увеличится в 2 раза.