Номер 2, страница 28 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Рамка площадью $300 \text{ см}^2$ имеет $200$ витков и вращается в магнитном поле с индукцией $1,5 \cdot 10^{-2} \text{ Тл}$. Определите период вращения рамки, если максимальная $\text{ЭДС}$ индукции $14,4 \text{ В}$.

Дано:

Площадь рамки $S = 300 \text{ см}^2$

Число витков $N = 200$

Магнитная индукция $B = 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ Тл}$

Максимальная ЭДС индукции $\mathcal{E}_{max} = 14,4 \text{ В}$

Перевод в систему СИ:

$S = 300 \text{ см}^2 = 300 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 300 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,03 \text{ м}^2$

Найти:

Период вращения рамки $\text{T}$

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий все витки рамки, изменяется со временем по закону:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки.

При равномерном вращении рамки с угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется как $\alpha = \omega t$. Тогда магнитный поток можно записать как функцию времени:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

$\mathcal{E}(t) = - N \cdot B \cdot S \cdot (-\sin(\omega t)) \cdot \omega = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Максимальное значение ЭДС (амплитудное значение) $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ принимает максимальное значение, равное 1.

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $\text{T}$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставим это выражение в формулу для максимальной ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \frac{2\pi}{T}$

Из этой формулы выразим искомый период вращения $\text{T}$:

$T = \frac{2\pi \cdot N \cdot B \cdot S}{\mathcal{E}_{max}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = \frac{2\pi \cdot 200 \cdot 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ Тл} \cdot 0,03 \text{ м}^2}{14,4 \text{ В}}$

Проведем вычисления:

$T = \frac{2\pi \cdot 200 \cdot 0,015 \cdot 0,03}{14,4} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot 0,03}{14,4} = \frac{2\pi \cdot 0,09}{14,4} = \frac{0,18\pi}{14,4} \text{ с}$

Упростим дробь:

$T = \frac{18\pi}{1440} \text{ с} = \frac{\pi}{80} \text{ с}$

Для получения числового ответа воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14$:

$T \approx \frac{3,14}{80} \approx 0,03925 \text{ с}$

Округляя результат, получаем $T \approx 0,039 \text{ с}$.

Ответ: $T = \frac{\pi}{80} \text{ с} \approx 0,039 \text{ с}$.