Номер 1, страница 60 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. Какое поле называют вихревым?

1. Вихревым полем называют векторное поле, ротор (или вихрь) которого не равен нулю хотя бы в некоторых точках пространства. Математически это условие для векторного поля `$\vec{a}$` записывается как `$\operatorname{rot} \vec{a} \neq 0$` или, что то же самое, `$\nabla \times \vec{a} \neq 0$`.

Основным свойством вихревого поля является то, что его циркуляция по замкнутому контуру, как правило, не равна нулю. Циркуляция `$\Gamma$` векторного поля `$\vec{a}$` по замкнутому контуру `L` определяется как криволинейный интеграл: `$\Gamma = \oint_L \vec{a} \cdot d\vec{l}$`.

Согласно теореме Стокса, циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через любую поверхность `S`, натянутую на этот контур: `$\oint_L \vec{a} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\operatorname{rot} \vec{a}) \cdot d\vec{S}$`. Из этой теоремы следует, что если `$\operatorname{rot} \vec{a} \neq 0$`, то циркуляция поля по контуру, охватывающему область с ненулевым ротором, также будет отлична от нуля. Это означает, что работа, совершаемая силами вихревого поля при перемещении пробного тела (например, заряда) по замкнутой траектории, в общем случае не равна нулю. Такие поля не являются потенциальными, то есть их нельзя представить как градиент скалярного потенциала.

Силовые линии вихревого поля являются замкнутыми или уходят на бесконечность, они не могут начинаться или заканчиваться на источниках (зарядах), как в случае потенциальных (безвихревых) полей.

Типичными примерами вихревых полей в физике являются магнитное поле, создаваемое постоянным током (его ротор, согласно закону Ампера в дифференциальной форме, `$\operatorname{rot} \vec{B} = \mu_0 \vec{j}$`), индуцированное электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля во времени (согласно закону Фарадея, `$\operatorname{rot} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$`), а также поле скоростей в вихревом потоке жидкости или газа.

Ответ: Вихревым полем называется векторное поле `$\vec{a}$`, ротор которого не равен нулю (`$\operatorname{rot} \vec{a} \neq 0$`). Характерным признаком такого поля является то, что его циркуляция по замкнутому контуру в общем случае отлична от нуля, а его силовые линии замкнуты.