Задание 4, страница 57 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 4

Запишите уравнение бегущей волны, которая распространяется в направлении, противоположном выбранной оси.

Решение

Уравнение плоской гармонической бегущей волны, распространяющейся вдоль некоторой оси (например, оси $\text{x}$), в общем виде описывает зависимость смещения $\text{y}$ частиц среды от координаты $\text{x}$ и времени $\text{t}$.

Если волна распространяется в положительном направлении выбранной оси $\text{x}$, её уравнение имеет вид:

$y(x, t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi)$

Здесь $\text{A}$ — амплитуда волны (максимальное смещение частиц от положения равновесия), $\omega$ — циклическая (или круговая) частота колебаний, $\text{k}$ — волновое число, $\text{t}$ — время, $\text{x}$ — координата точки, $\varphi$ — начальная фаза колебаний.

Выражение в скобках, $\Phi(x, t) = \omega t - kx + \varphi$, называется фазой волны. Она определяет состояние колебательного процесса в точке с координатой $\text{x}$ в момент времени $\text{t}$. Для любой точки, движущейся вместе с волновым фронтом (например, для гребня волны), фаза остается постоянной: $\Phi(x, t) = \text{const}$.

Чтобы найти скорость распространения волны, продифференцируем условие постоянства фазы по времени: $\frac{d\Phi}{dt} = 0$.

Для волны, движущейся в положительном направлении оси $\text{x}$, получаем:

$\frac{d}{dt}(\omega t - kx + \varphi) = \omega - k\frac{dx}{dt} = 0$

Отсюда скорость перемещения точки с постоянной фазой (фазовая скорость волны) равна $v = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k}$. Поскольку частота $\omega$ и волновое число $\text{k}$ являются положительными величинами, скорость $\text{v}$ положительна. Это подтверждает, что волна распространяется в положительном направлении оси $\text{x}$.

Для описания волны, которая распространяется в направлении, противоположном выбранной оси (то есть в отрицательном направлении оси $\text{x}$), необходимо, чтобы её фазовая скорость была отрицательной. Это достигается изменением знака перед слагаемым $\text{kx}$ в выражении для фазы. Новая фаза будет иметь вид $\Phi(x, t) = \omega t + kx + \varphi$.

Снова воспользуемся условием постоянства фазы и продифференцируем его по времени:

$\frac{d}{dt}(\omega t + kx + \varphi) = \omega + k\frac{dx}{dt} = 0$

Отсюда находим фазовую скорость: $v = \frac{dx}{dt} = -\frac{\omega}{k}$. Отрицательный знак скорости указывает на то, что волна распространяется в направлении, противоположном положительному направлению оси $\text{x}$.

Таким образом, уравнение бегущей волны, которая распространяется в направлении, противоположном выбранной оси, имеет вид:

$y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \varphi)$

В зависимости от начальных условий, вместо функции синуса может использоваться функция косинуса, что эквивалентно сдвигу начальной фазы на $\frac{\pi}{2}$:

$y(x, t) = A \cos(\omega t + kx + \varphi)$

Ответ: Уравнение бегущей волны, распространяющейся в направлении, противоположном выбранной оси, можно записать в виде $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \varphi)$ или $y(x, t) = A \cos(\omega t + kx + \varphi)$.