Номер 1, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

Коллинеарные и компланарные векторы

Два вектора называются коллинеарными, если при откладывании их от одной точки они лежат на одной прямой.

Как располагаются относительно друг друга векторы $ \vec{a} $ и $ t\vec{a} $?

Будут ли векторы $ \vec{a} $ и $ t\vec{a} $ коллинеарными? Могут ли коллинеарные векторы располагаться на пересекающихся прямых?

Три ненулевых вектора называются компланарными, если при откладывании их от одной точки они лежат в одной плоскости.

Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Будут ли компланарными следующие векторы:

1) $ \vec{AA_1}, \vec{DD_1}, \vec{C_1C} $

2) $ \vec{AB}, \vec{DC_1}, \vec{BB_1} $

3) $ \vec{AD}, \vec{AC}, \vec{DD_1} $

Как располагаются относительно друг друга векторы $\vec{a}$ и $t\vec{a}$?
Вектор $t\vec{a}$ получается путем умножения вектора $\vec{a}$ на скаляр (число) $t$. По определению скалярного умножения, полученный вектор $t\vec{a}$ всегда коллинеарен исходному вектору $\vec{a}$. Это значит, что если отложить оба вектора от одной и той же начальной точки, они будут лежать на одной прямой. Их взаимное направление зависит от знака числа $t$:

• Если $t > 0$, векторы $\vec{a}$ и $t\vec{a}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление).
• Если $t < 0$, векторы $\vec{a}$ и $t\vec{a}$ противоположно направлены.
• Если $t = 0$, то вектор $t\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{0}$).

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $t\vec{a}$ всегда коллинеарны. Они сонаправлены при $t>0$ и противоположно направлены при $t<0$.

Будут ли векторы $\vec{a}$ и $t\vec{a}$ коллинеарными?
Да, эти векторы всегда будут коллинеарными. Определение коллинеарности двух векторов (скажем, $\vec{p}$ и $\vec{q}$, где $\vec{p} \neq \vec{0}$) гласит, что они коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{q} = k\vec{p}$. В заданном вопросе эта зависимость уже дана в виде $t\vec{a}$, что и является определением коллинеарности.

Ответ: Да, будут.

Могут ли коллинеарные векторы располагаться на пересекающихся прямых?
Нет, не могут. Коллинеарные векторы по определению параллельны одной прямой. Это означает, что они могут лежать либо на одной и той же прямой, либо на параллельных прямых. Пересекающиеся прямые не параллельны друг другу. Поэтому векторы, лежащие на пересекающихся прямых, не могут быть коллинеарными (за исключением тривиального случая нулевых векторов).

Ответ: Нет, не могут.

Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Будут ли компланарными следующие векторы:
Для анализа компланарности векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ удобно ввести базисные векторы, исходящие из одной вершины, например, A: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. Три вектора компланарны, если при совмещении их начальных точек они лежат в одной плоскости. Алгебраически это означает, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других.

1) $\vec{AA_1}, \vec{DD_1}, \vec{C_1C}$
В параллелепипеде противоположные боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, направленные вдоль них, равны: $\vec{AA_1} = \vec{DD_1} = \vec{CC_1}$. Вектор $\vec{C_1C}$ направлен в противоположную сторону вектору $\vec{CC_1}$, следовательно, $\vec{C_1C} = -\vec{CC_1}$. Таким образом, мы рассматриваем три вектора: $\vec{AA_1}$, $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$. Все три вектора коллинеарны друг другу. Если три вектора коллинеарны, то при откладывании от одной точки они будут лежать на одной прямой. Любая прямая может быть помещена в некоторую плоскость. Следовательно, эти три вектора компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

2) $\vec{AB}, \vec{DC_1}, \vec{BB_1}$
Выразим данные векторы через базис $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

• $\vec{AB} = \vec{a}$
• $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$
• $\vec{DC_1}$ можно разложить по правилу ломаной: $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. В параллелепипеде $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$. Следовательно, $\vec{DC_1} = \vec{a} + \vec{c}$.

Мы получили три вектора: $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{a} + \vec{c}$. Эти векторы компланарны, так как один из них ($\vec{a} + \vec{c}$) является линейной комбинацией двух других: $\vec{a} + \vec{c} = 1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{c}$. Геометрически это означает, что вектор $\vec{a}+\vec{c}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{c}$, и, следовательно, лежит в той же плоскости, что и они. Эта плоскость совпадает с плоскостью грани $ABB_1A_1$.

Ответ: Да, компланарны.

3) $\vec{AD}, \vec{AC}, \vec{DD_1}$
Снова выразим векторы через базис $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

• $\vec{AD} = \vec{b}$
• $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$
• $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$, поэтому по правилу параллелограмма сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.

Получили три вектора: $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{a} + \vec{b}$. Проверим их на компланарность. Попытаемся выразить один из них, например $\vec{c}$, через два других с помощью коэффициентов $k$ и $m$: $\vec{c} = k(\vec{a} + \vec{b}) + m\vec{b}$ $\vec{c} = k\vec{a} + (k+m)\vec{b}$ $0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = k\vec{a} + (k+m)\vec{b} + 0 \cdot \vec{c}$ Так как базисные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ линейно независимы (некомпланарны), равенство возможно только при равенстве коэффициентов при них: $\begin{cases} k = 0 \\ k+m = 0 \\ 1 = 0 \end{cases}$ Третье уравнение $1=0$ является ложным. Противоречие доказывает, что эти три вектора невозможно выразить друг через друга, а значит, они не компланарны. Геометрически: векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABCD$, а вектор $\vec{DD_1}$ (равный $\vec{AA_1}$) не лежит в этой плоскости (если параллелепипед не вырожден).

Ответ: Нет, не компланарны.