Номер 2, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

Параллельное проектирование

В каком случае параллельной проекцией двух параллельных прямых является одна прямая?

Сохраняются ли при параллельном проектировании длины отрезков?

В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка?

Сохраняются ли при параллельном проектировании величины углов?

Постройте параллельную проекцию равнобедренной трапеции, у которой одно основание вдвое больше другого.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проектирования, называется ортогональным проектированием.

Теорема о трех перпендикулярах.

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В каком случае параллельной проекцией двух параллельных прямых является одна прямая?

Параллельная проекция двух различных параллельных прямых $a$ и $b$ будет являться одной прямой $c$ в том и только в том случае, когда плоскость $\beta$, содержащая обе исходные прямые $a$ и $b$, параллельна направлению проектирования $l$. В этом случае все проектирующие прямые, проходящие через точки прямых $a$ и $b$, лежат в плоскости $\beta$. Пересечение этой плоскости $\beta$ с плоскостью проекции $\alpha$ и будет единственной прямой $c$, на которую спроецируются обе исходные прямые.

Ответ: Если плоскость, в которой лежат эти две параллельные прямые, параллельна направлению проектирования.

Сохраняются ли при параллельном проектировании длины отрезков?

Нет, в общем случае длины отрезков при параллельном проектировании не сохраняются. Длина проекции отрезка может быть больше, меньше или равна длине самого отрезка. Например, при ортогональном проектировании (частный случай параллельного) длина проекции $A'B'$ отрезка $AB$ связана с его собственной длиной формулой $|A'B'| = |AB| \cdot \cos\phi$, где $\phi$ — угол между прямой, содержащей отрезок $AB$, и плоскостью проекции. Длина сохраняется ($|A'B'|=|AB|$) только если $\phi=0$, то есть отрезок параллелен плоскости проекции. В общем случае параллельного проектирования соотношение длин еще сложнее и зависит также от угла между направлением проектирования и плоскостью проекции.

Ответ: Нет, в общем случае не сохраняются.

В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка?

Параллельная проекция прямой представляет собой точку тогда и только тогда, когда эта прямая параллельна направлению проектирования. В этом случае все точки данной прямой проецируются в одну точку — точку пересечения этой прямой (или ее продолжения) с плоскостью проекции.

Ответ: Если прямая параллельна направлению проектирования.

Сохраняются ли при параллельном проектировании величины углов?

Нет, в общем случае величины углов при параллельном проектировании не сохраняются. Прямой угол может проецироваться в острый или тупой, и наоборот. Например, проекцией квадрата, плоскость которого не параллельна плоскости проекции, в общем случае является параллелограмм, углы которого не равны $90^\circ$. Величины углов сохраняются лишь в очень специфических условиях.

Ответ: Нет, в общем случае не сохраняются.

Постройте параллельную проекцию равнобедренной трапеции, у которой одно основание вдвое больше другого.

При построении параллельной проекции равнобедренной трапеции $ABCD$ (где $AD$ и $BC$ — основания, и $AD = 2BC$) необходимо использовать свойства параллельного проектирования. Во-первых, параллельные прямые проецируются в параллельные прямые. Следовательно, проекции оснований $A'D'$ и $B'C'$ будут параллельны, и проекцией трапеции будет трапеция (в общем случае). Во-вторых, отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется. Так как $AD \parallel BC$ и $AD = 2BC$, то для их проекций будет выполняться соотношение $|A'D'| = 2|B'C'|$. Свойства, которые не сохраняются в общем случае — это равенство длин боковых сторон ($|AB|=|CD|$ не означает $|A'B'|=|C'D'|$) и величины углов. Поэтому проекция равнобедренной трапеции в общем случае не будет равнобедренной.

Алгоритм построения проекции $A'B'C'D'$: 1. Нарисуем произвольный отрезок $B'C'$, который будет проекцией меньшего основания. 2. Проведем прямую $l$, параллельную $B'C'$. На этой прямой будет лежать проекция большего основания. 3. На прямой $l$ выберем произвольную точку $A'$. 4. От точки $A'$ на прямой $l$ отложим отрезок $A'D'$ так, чтобы его длина была в два раза больше длины отрезка $B'C'$, то есть, $|A'D'| = 2|B'C'|$. 5. Соединим точки $A'$ с $B'$ и $C'$ с $D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ является искомой параллельной проекцией. Он представляет собой трапецию с параллельными основаниями $A'D'$ и $B'C'$, причем одно основание вдвое длиннее другого. Конкретный вид трапеции (углы, длины боковых сторон) зависит от выбора плоскости и направления проектирования.

Ответ: Построение показано на рисунке выше и описано в алгоритме. Результатом является любая трапеция, у которой одно основание параллельно и вдвое длиннее другого.