Номер 3, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. Докажите, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Для доказательства того, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, воспользуемся определениями призмы и прямой призмы.

По определению, призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а все остальные грани (боковые грани) — параллелограммами.

Следовательно, каждая боковая грань любой призмы, включая прямую, является параллелограммом. Рассмотрим произвольную боковую грань $A_1A_2B_2B_1$ прямой n-угольной призмы. Эта грань является параллелограммом.

По определению, прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это значит, что боковое ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости основания $\alpha$.

Из свойства перпендикулярности прямой и плоскости следует, что если прямая ($A_1B_1$) перпендикулярна плоскости ($\alpha$), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения ($A_1$). Сторона основания $A_1A_2$ как раз является такой прямой.

Следовательно, боковое ребро $A_1B_1$ перпендикулярно стороне основания $A_1A_2$. Это означает, что угол между ними прямой: $\angle B_1A_1A_2 = 90^\circ$.

Мы имеем параллелограмм $A_1A_2B_2B_1$, у которого один из углов равен $90^\circ$. По свойству параллелограмма, все его углы в таком случае будут прямыми, а сам параллелограмм является прямоугольником.

Так как мы рассматривали произвольную боковую грань, данное доказательство справедливо для всех боковых граней прямой призмы.

Ответ: Утверждение доказано. По определению призмы, ее боковые грани — параллелограммы. По определению прямой призмы, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, а значит, и сторонам оснований. Таким образом, углы между боковыми ребрами и сторонами оснований прямые. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.