Номер 4, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. Какие из фигур (рис. 26) являются развертками:

а) четырехугольной призмы;

б) треугольной призмы?

1

2

3

4

Рис. 26

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждую фигуру и определить, можно ли из нее сложить соответствующую призму путем сгибания по линиям.

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

• У треугольной призмы 5 граней: 2 треугольных основания и 3 боковые грани (обычно прямоугольники).
• У четырехугольной призмы 6 граней: 2 четырехугольных основания и 4 боковые грани (обычно прямоугольники).

а) четырехугольной призмы;

Для четырехугольной призмы развертка должна состоять из 6 граней-четырехугольников. Этому условию соответствуют фигуры 2 и 4.

Анализ фигуры 2:

Эта фигура состоит из шести прямоугольников. Попытаемся мысленно ее сложить. Если принять один из центральных прямоугольников за основание, то при сгибании соседних граней для формирования боковых сторон и второго основания окажется, что некоторые грани будут накладываться друг на друга, а для одной из сторон призмы грани не найдется. Например, если взять за основание нижний средний прямоугольник и поднять боковые стенки, то два прямоугольника (самый правый нижний и самый правый верхний) будут претендовать на одну и ту же позицию, создавая наложение. Следовательно, эта фигура не является разверткой призмы.

Анализ фигуры 4:

Эта фигура, известная как развертка куба или прямоугольного параллелепипеда, состоит из шести прямоугольников. Четыре прямоугольника, расположенные в ряд, образуют боковую поверхность призмы при сгибании. Два оставшихся прямоугольника, примыкающие сверху и снизу к одному из центральных, становятся верхним и нижним основаниями призмы. Все грани смыкаются правильно, без наложений и пробелов. Следовательно, эта фигура является разверткой четырехугольной призмы.

Ответ: разверткой четырехугольной призмы является фигура 4.

б) треугольной призмы?

Для треугольной призмы развертка должна состоять из 2 треугольников и 3 прямоугольников. Этому условию соответствуют фигуры 1 и 3.

Анализ фигуры 1:

Фигура состоит из трех прямоугольников, расположенных в ряд, и двух треугольников, примыкающих к противоположным сторонам центрального прямоугольника. При сгибании три прямоугольника образуют боковую поверхность призмы. Треугольники сгибаются вверх и становятся верхним и нижним основаниями. Такая конфигурация правильно формирует замкнутую треугольную призму. Следовательно, эта фигура является разверткой треугольной призмы.

Анализ фигуры 3:

Эта фигура состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. Однако их взаимное расположение не позволяет собрать призму. Если мысленно сложить два центральных прямоугольника и два треугольника на их концах, получится "корыто" с дном и двумя боковыми стенками, закрытое с одной стороны треугольным основанием. Третий прямоугольник, прикрепленный к стороне верхнего треугольника, окажется лишним и будет либо накладываться на одну из уже имеющихся граней, либо торчать в сторону. Правильно замкнуть призму из такой развертки невозможно. Следовательно, эта фигура не является разверткой призмы.

Ответ: разверткой треугольной призмы является фигура 1.