Номер 11, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

11. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна $80 \text{ дм}^2$, а площадь боковой поверхности – $64 \text{ дм}^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади двух оснований ($S_{осн}$). Формула имеет вид:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

По условию задачи $S_{полн} = 80 \text{ дм}^2$ и $S_{бок} = 64 \text{ дм}^2$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти площадь одного основания.

$80 = 64 + 2 \cdot S_{осн}$

Вычтем из площади полной поверхности площадь боковой поверхности, чтобы найти суммарную площадь двух оснований:

$2 \cdot S_{осн} = 80 - 64 = 16 \text{ дм}^2$

Теперь найдем площадь одного основания:

$S_{осн} = \frac{16}{2} = 8 \text{ дм}^2$

Призма является правильной четырехугольной, это означает, что в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда площадь основания вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$.

$a^2 = 8$

$a = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \text{ дм}$

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр квадрата с стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ дм}$

Теперь, зная площадь боковой поверхности и периметр основания, мы можем найти высоту $h$:

$64 = 8\sqrt{2} \cdot h$

$h = \frac{64}{8\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$

Ответ: высота призмы равна $4\sqrt{2}$ дм.