Номер 12, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

12. Две боковые грани треугольной наклонной призмы взаимно перпендикулярны. Их общее ребро равно 4,8 м и удалено от остальных боковых ребер на 1,2 м и 3,5 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы можно найти по формуле:

$S_{бок} = P_{п.с.} \cdot l$

где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{п.с.}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Из условия задачи нам дано, что длина общего бокового ребра двух перпендикулярных граней равна 4,8 м. В призме все боковые ребра равны, следовательно, $l = 4,8$ м.

Перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам. В нашем случае это треугольник.

Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ взаимно перпендикулярны. Их общее ребро — $BB_1$. Построим перпендикулярное сечение $KLM$, где точки $K$, $L$, $M$ лежат на боковых ребрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Так как плоскость сечения $KLM$ перпендикулярна ребрам, то стороны сечения $KL$ и $LM$ перпендикулярны ребру $BB_1$.

Угол между гранями $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равен углу между линиями $KL$ и $LM$ в перпендикулярном сечении. Поскольку грани перпендикулярны, угол $\angle KLM = 90^\circ$. Следовательно, перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником.

Расстояние между параллельными боковыми ребрами равно длине соответствующей стороны перпендикулярного сечения. По условию, общее ребро (пусть это $BB_1$) удалено от остальных боковых ребер ($AA_1$ и $CC_1$) на 1,2 м и 3,5 м. Это означает, что катеты прямоугольного треугольника $KLM$ равны:

$KL = 1,2$ м

$LM = 3,5$ м

Для нахождения периметра перпендикулярного сечения $P_{п.с.}$ необходимо найти длину гипотенузы $KM$ по теореме Пифагора:

$KM^2 = KL^2 + LM^2$

$KM^2 = (1,2)^2 + (3,5)^2 = 1,44 + 12,25 = 13,69$

$KM = \sqrt{13,69} = 3,7$ м

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения:

$P_{п.с.} = KL + LM + KM = 1,2 + 3,5 + 3,7 = 8,4$ м

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{п.с.} \cdot l = 8,4 \cdot 4,8 = 40,32$ м$^2$

Ответ: 40,32 м$^2$.