Номер 15, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты основания равны $20$ см и $21$ см, а боковое ребро равно $42$ см.

Пусть дана прямая призма $ABCA'B'C'$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=20$ см и $BC=21$ см. Прямой угол находится в вершине $C$. Высота призмы (длина бокового ребра) равна $h = AA' = 42$ см.

1. Найдем длину гипотенузы основания.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см.

2. Определим форму сечения.

По условию, секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину гипотенузы $AB$ (обозначим эту точку $M$) и перпендикулярна ей.

Так как призма прямая, ее боковые ребра ($AA'$, $BB'$, $CC'$) перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Гипотенуза $AB$ лежит в плоскости основания, следовательно, боковые ребра перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Итак, и секущая плоскость $\alpha$, и боковые ребра призмы перпендикулярны одной и той же прямой $AB$. Это означает, что боковые ребра параллельны секущей плоскости $\alpha$.

Если плоскость пересекает призму и при этом параллельна ее боковым ребрам, то линии пересечения этой плоскости с боковыми гранями будут параллельны боковым ребрам. Поскольку боковые ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям, то и эти линии пересечения будут перпендикулярны линиям пересечения плоскости с основаниями.

Следовательно, сечение представляет собой прямоугольник.

3. Найдем размеры прямоугольника сечения.

Одна сторона прямоугольника сечения равна высоте призмы, то есть $42$ см.

Вторую сторону, обозначим ее $w$, найдем как длину отрезка, который секущая плоскость высекает в основании $ABC$. Этот отрезок (на рисунках обозначен как $PM$) лежит на прямой, проходящей через точку $M$ (середину $AB$) перпендикулярно $AB$.

Рассмотрим треугольник основания $ABC$. Пусть $\angle B$ — угол при вершине $B$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс этого угла равен: $\tan(\angle B) = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$

Отрезок $PM$ является катетом в новом прямоугольном треугольнике $PBM$, где $\angle M = 90^{\circ}$ (так как $PM \perp AB$). Катет $BM$ равен половине гипотенузы $AB$: $BM = \frac{AB}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$ см.

Теперь из треугольника $PBM$ можем найти длину катета $PM$, который и является искомой шириной сечения $w$: $w = PM = BM \cdot \tan(\angle B)$ $w = 14.5 \cdot \frac{20}{21} = \frac{29}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{29 \cdot 10}{21} = \frac{290}{21}$ см.

4. Вычислим площадь сечения.

Площадь $S$ прямоугольного сечения равна произведению его сторон: $S = h \cdot w = 42 \cdot \frac{290}{21}$

$S = (2 \cdot 21) \cdot \frac{290}{21} = 2 \cdot 290 = 580$ см$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна 580 см$^2$.