Номер 7, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3, 4 и 5. Под каким углом наклонена диагональ параллелепипеда к плоскости наименьшей его грани?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a=3$, $b=4$ и $c=5$.Грани параллелепипеда являются прямоугольниками. Найдем площади трех различных граней, чтобы определить наименьшую из них:$S_1 = 3 \times 4 = 12$;$S_2 = 3 \times 5 = 15$;$S_3 = 4 \times 5 = 20$.Наименьшая грань имеет площадь $12$ и, соответственно, стороны длиной $3$ и $4$.

Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости грани — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. В нашем случае, речь идет о плоскости наименьшей грани.

Для наглядности представим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть наименьшая грань $ABCD$ лежит в основании. Ее стороны, например, $AD=3$ и $AB=4$. Высота параллелепипеда, перпендикулярная этой грани, будет равна третьему измерению, $c=5$.

Рассмотрим главную диагональ $B_1D$. Ее проекцией на плоскость основания $ABCD$ будет диагональ основания $BD$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между диагональю $B_1D$ и ее проекцией $BD$, то есть $\angle B_1DB$.

Найдем длину главной диагонали $d=B_1D$ по формуле квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда:$d^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$.Отсюда, $d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Найдем длину проекции $d_{п}=BD$. Она является диагональю наименьшей грани (основания) со сторонами 3 и 4. Треугольник $ABD$ прямоугольный ($\angle A = 90^\circ$), поэтому по теореме Пифагора:$d_{п}^2 = AD^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.Отсюда, $d_{п} = \sqrt{25} = 5$.

Главная диагональ $B_1D$, ее проекция $BD$ и ребро $BB_1$ образуют прямоугольный треугольник $B_1BD$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\angle B_1BD = 90^\circ$.В этом треугольнике нам известны два катета:

• $BD = d_{п} = 5$ (прилежащий к углу $\alpha$ катет).
• $BB_1 = c = 5$ (противолежащий углу $\alpha$ катет, равен высоте параллелепипеда).

Найдем тангенс искомого угла $\alpha$:$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BB_1}{BD} = \frac{5}{5} = 1$.Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.