Номер 11, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

11. Дан прямоугольный параллелепипед, в его основании лежит прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см, высота параллелепипеда равна 2 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этого параллелепипеда.

Для решения задачи используем заданные размеры прямоугольного параллелепипеда:
Стороны основания: $a = 4$ см и $b = 2$ см.
Высота: $h = 2$ см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S_{бок}$) — это сумма площадей его боковых граней (четырех прямоугольников). Её можно вычислить по формуле, умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.
Формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
1. Сначала найдем периметр прямоугольника, лежащего в основании:
$P_{осн} = 2 \cdot (a + b)$
Подставим числовые значения:
$P_{осн} = 2 \cdot (4 + 2) = 2 \cdot 6 = 12$ см.
2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, умножив полученный периметр основания на высоту:
$S_{бок} = 12 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 24$ см².
Ответ: площадь боковой поверхности равна $24$ см².

Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности параллелепипеда ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего).
Формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
1. Сначала найдем площадь основания. В основании лежит прямоугольник, его площадь равна произведению его сторон:
$S_{осн} = a \cdot b$
Подставим числовые значения:
$S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 8$ см².
2. Теперь вычислим площадь полной поверхности, используя найденные ранее значения площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$:
$S_{полн} = 24 \text{ см}² + 2 \cdot 8 \text{ см}² = 24 \text{ см}² + 16 \text{ см}² = 40$ см².
Для проверки можно использовать общую формулу площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$S_{полн} = 2(ab + ah + bh)$
$S_{полн} = 2 \cdot (4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (8 + 8 + 4) = 2 \cdot 20 = 40$ см².
Результаты совпадают.
Ответ: площадь полной поверхности равна $40$ см².