Номер 15, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $24 \text{ дм}^2$, $28 \text{ дм}^2$ и $42 \text{ м}^2$. Найдите его измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a, b$ и $c$.

Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Три грани, сходящиеся в одной вершине, имеют площади, равные произведениям измерений, взятых попарно. Обозначим эти площади как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

В условии задачи даны площади трех граней: $24 \text{ дм}^2$, $28 \text{ дм}^2$ и $42 \text{ м}^2$. Заметим, что одна из площадей дана в квадратных метрах, в то время как две другие — в квадратных дециметрах. Вероятнее всего, это опечатка, и третья площадь также должна быть в квадратных дециметрах, то есть $42 \text{ дм}^2$. Такое предположение оправдано, так как числа 24, 28 и 42 хорошо соотносятся друг с другом и приводят к целочисленному ответу, что типично для задач такого типа.

Итак, будем считать, что площади граней равны $S_1 = 24 \text{ дм}^2$, $S_2 = 28 \text{ дм}^2$ и $S_3 = 42 \text{ дм}^2$. Мы можем составить систему из трех уравнений:
$a \cdot b = 24$
$b \cdot c = 28$
$a \cdot c = 42$

Чтобы найти измерения $a, b, c$, перемножим все три уравнения:
$(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 24 \cdot 28 \cdot 42$
$a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 24 \cdot 28 \cdot 42$
$(a \cdot b \cdot c)^2 = 24 \cdot 28 \cdot 42$

Произведение $a \cdot b \cdot c$ является объемом параллелепипеда ($V$). Таким образом, $V^2 = (a \cdot b \cdot c)^2$. Вычислим правую часть. Для удобства разложим числа на множители:
$24 = 4 \cdot 6 = 2^2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Тогда:
$V^2 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 7) = 2^{3+2+1} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^{1+1} = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2$
$V^2 = (2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1)^2 = (8 \cdot 3 \cdot 7)^2 = (168)^2$

Отсюда объем параллелепипеда $V = 168 \text{ дм}^3$.

Теперь мы можем найти каждое измерение, разделив объем на площадь соответствующей грани. Напомним, что $V = (a \cdot b) \cdot c$. Так как $a \cdot b = 24$, то:
$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{168}{24} = 7 \text{ дм}$

Аналогично, $V = a \cdot (b \cdot c)$. Так как $b \cdot c = 28$, то:
$a = \frac{V}{b \cdot c} = \frac{168}{28} = 6 \text{ дм}$

И $V = b \cdot (a \cdot c)$. Так как $a \cdot c = 42$, то:
$b = \frac{V}{a \cdot c} = \frac{168}{42} = 4 \text{ дм}$

Таким образом, измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 7 дм.

Проверим:
$S_1 = 6 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^2$
$S_2 = 4 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм} = 28 \text{ дм}^2$
$S_3 = 6 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм} = 42 \text{ дм}^2$
Все площади соответствуют данным (с учетом нашего предположения об опечатке).

Ответ: измерения параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 7 дм.