Номер 4, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. Существует ли пирамида, у которой:

а) 4 ребра;

б) 6 ребер;

в) 11 ребер;

г) 30 ребер?

Чтобы определить, может ли существовать пирамида с заданным количеством ребер, необходимо проанализировать ее строение. У любой пирамиды есть основание, которое является многоугольником, и боковые грани, сходящиеся в одной вершине. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами). У этого основания есть $n$ вершин и $n$ ребер. Каждая из $n$ вершин основания соединена ребром с вершиной пирамиды. Эти ребра называются боковыми. Их количество также равно $n$. Таким образом, общее количество ребер $E$ в n-угольной пирамиде вычисляется по формуле: $E = (\text{ребра основания}) + (\text{боковые ребра}) = n + n = 2n$. Из этой формулы следует, что общее количество ребер в любой пирамиде всегда является четным числом. Кроме того, наименьший возможный многоугольник в основании — это треугольник, для которого $n=3$. Следовательно, минимальное количество ребер в пирамиде равно $2 \times 3 = 6$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) 4 ребра
Применим формулу $E = 2n$, где $E=4$:
$4 = 2n$
$n = 2$
Это означает, что в основании пирамиды должен лежать многоугольник с двумя сторонами (двухугольник), что геометрически невозможно. Минимальное число сторон для многоугольника — 3. Также, как мы выяснили, минимально возможное число ребер для пирамиды равно 6. Таким образом, пирамиды с 4 ребрами не существует.
Ответ: не существует.

б) 6 ребер
Применим формулу $E = 2n$, где $E=6$:
$6 = 2n$
$n = 3$
Это означает, что в основании пирамиды лежит треугольник. Такая фигура существует и называется треугольной пирамидой (или тетраэдром). У нее 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, что в сумме дает 6.
Ответ: существует.

в) 11 ребер
Общее количество ребер в пирамиде всегда является четным числом, так как $E=2n$. Число 11 является нечетным, поэтому пирамиды с 11 ребрами существовать не может. Если мы подставим это значение в формулу, то получим $n = 11/2 = 5.5$, что не является целым числом, а количество сторон многоугольника должно быть целым.
Ответ: не существует.

г) 30 ребер
Применим формулу $E = 2n$, где $E=30$:
$30 = 2n$
$n = 15$
Это означает, что в основании пирамиды лежит 15-угольник. Так как $n=15$ является целым числом и больше 3, то такая пирамида существует. У нее будет 15 ребер в основании и 15 боковых ребер, что в сумме составляет 30.
Ответ: существует.