Номер 2, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

2. Какое наименьшее число ребер может быть у многогранника? Каково наименьшее число граней?

Какое наименьшее число ребер может быть у многогранника?

Чтобы найти наименьшее число рёбер у многогранника, рассмотрим простейший из них — тетраэдр (треугольную пирамиду).

Тетраэдр имеет 4 вершины, 4 треугольные грани и 6 рёбер. Это показывает, что многогранник с 6 рёбрами существует. Теперь докажем, что число рёбер не может быть меньше 6.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $В - Р + Г = 2$, где $В$ – число вершин, $Р$ – число рёбер, $Г$ – число граней.

Кроме того, для любого многогранника выполняются два условия:
1. Каждая грань является многоугольником, то есть имеет не менее 3 рёбер. Сумма числа рёбер всех граней не меньше, чем $3Г$. Поскольку каждое ребро является общим для двух граней, удвоенное число рёбер $2Р$ не меньше $3Г$. Таким образом, $2Р \ge 3Г$.
2. В каждой вершине сходится не менее 3 рёбер. Сумма рёбер, сходящихся во всех вершинах, не меньше, чем $3В$. Так как каждое ребро соединяет две вершины, эта сумма равна $2Р$. Следовательно, $2Р \ge 3В$.

Из этих неравенств можно выразить $В$ и $Г$ через $Р$: $В \le \frac{2}{3}Р$ и $Г \le \frac{2}{3}Р$.

Подставим эти оценки в формулу Эйлера, предварительно выразив из неё $Р$: $Р = В + Г - 2$.

$Р \le \frac{2}{3}Р + \frac{2}{3}Р - 2$
$Р \le \frac{4}{3}Р - 2$
$2 \le \frac{4}{3}Р - Р$
$2 \le \frac{1}{3}Р$
$6 \le Р$

Таким образом, доказано, что наименьшее возможное число рёбер у многогранника равно 6.

Ответ: 6

Каково наименьшее число граней?

Чтобы найти наименьшее число граней, воспользуемся теми же соотношениями, что и в предыдущем пункте: формулой Эйлера $В - Р + Г = 2$ и неравенствами $2Р \ge 3Г$ и $2Р \ge 3В$.

Из формулы Эйлера выразим число вершин $В$:
$В = 2 + Р - Г$

Подставим это выражение в неравенство $2Р \ge 3В$:
$2Р \ge 3(2 + Р - Г)$
$2Р \ge 6 + 3Р - 3Г$
$3Г \ge Р + 6$

Теперь воспользуемся вторым неравенством, $2Р \ge 3Г$, из которого следует, что $Р \ge \frac{3}{2}Г$. Подставим эту оценку для $Р$ в полученное выше неравенство:
$3Г \ge (\frac{3}{2}Г) + 6$

Решим это неравенство относительно $Г$:
$3Г - \frac{3}{2}Г \ge 6$
$\frac{3}{2}Г \ge 6$
$3Г \ge 12$
$Г \ge 4$

Таким образом, наименьшее возможное число граней у многогранника — 4. Интуитивно это понятно, так как тремя плоскостями (гранями) невозможно ограничить замкнутый объём в пространстве. Примером многогранника с 4 гранями является уже упомянутый тетраэдр.

Ответ: 4