Номер 16, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

16. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 0,6 м и 0,8 м. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна 1,3 м. Найдите его полную поверхность.

Для нахождения полной поверхности прямого параллелепипеда необходимо найти сумму площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Решение задачи можно разбить на следующие шаги:

1. Найдем сторону основания (ромба) и его площадь.

Основанием параллелепипеда является ромб. Диагонали ромба $d_1 = 0,8$ м и $d_2 = 0,6$ м взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $d_1/2 = 0,4$ м и $d_2/2 = 0,3$ м. Сторона ромба $a$ является гипотенузой этих треугольников. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{0,4^2 + 0,3^2} = \sqrt{0,16 + 0,09} = \sqrt{0,25} = 0,5$ м.

Площадь основания (ромба) $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,24$ м².

2. Найдем высоту параллелепипеда и площадь боковой поверхности.

Параллелепипед прямой, следовательно, его боковые грани — это прямоугольники. Стороны боковой грани равны стороне основания $a$ и высоте параллелепипеда $h$. Диагональ боковой грани $D_{бг} = 1,3$ м, сторона основания $a = 0,5$ м и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{D_{бг}^2 - a^2} = \sqrt{1,3^2 - 0,5^2} = \sqrt{1,69 - 0,25} = \sqrt{1,44} = 1,2$ м.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$.

Периметр основания (ромба): $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 0,5 = 2,0$ м.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 2,0 \cdot 1,2 = 2,4$ м².

3. Найдем полную поверхность параллелепипеда.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ — это сумма площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

Подставляем вычисленные значения:

$S_{полн} = 2 \cdot 0,24 + 2,4 = 0,48 + 2,4 = 2,88$ м².

Ответ: 2,88 м².