Страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3, 4 и 5. Под каким углом наклонена диагональ параллелепипеда к плоскости наименьшей его грани?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a=3$, $b=4$ и $c=5$.Грани параллелепипеда являются прямоугольниками. Найдем площади трех различных граней, чтобы определить наименьшую из них:$S_1 = 3 \times 4 = 12$;$S_2 = 3 \times 5 = 15$;$S_3 = 4 \times 5 = 20$.Наименьшая грань имеет площадь $12$ и, соответственно, стороны длиной $3$ и $4$.

Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости грани — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. В нашем случае, речь идет о плоскости наименьшей грани.

Для наглядности представим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть наименьшая грань $ABCD$ лежит в основании. Ее стороны, например, $AD=3$ и $AB=4$. Высота параллелепипеда, перпендикулярная этой грани, будет равна третьему измерению, $c=5$.

Рассмотрим главную диагональ $B_1D$. Ее проекцией на плоскость основания $ABCD$ будет диагональ основания $BD$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между диагональю $B_1D$ и ее проекцией $BD$, то есть $\angle B_1DB$.

Найдем длину главной диагонали $d=B_1D$ по формуле квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда:$d^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$.Отсюда, $d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Найдем длину проекции $d_{п}=BD$. Она является диагональю наименьшей грани (основания) со сторонами 3 и 4. Треугольник $ABD$ прямоугольный ($\angle A = 90^\circ$), поэтому по теореме Пифагора:$d_{п}^2 = AD^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.Отсюда, $d_{п} = \sqrt{25} = 5$.

Главная диагональ $B_1D$, ее проекция $BD$ и ребро $BB_1$ образуют прямоугольный треугольник $B_1BD$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\angle B_1BD = 90^\circ$.В этом треугольнике нам известны два катета:

• $BD = d_{п} = 5$ (прилежащий к углу $\alpha$ катет).
• $BB_1 = c = 5$ (противолежащий углу $\alpha$ катет, равен высоте параллелепипеда).

Найдем тангенс искомого угла $\alpha$:$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BB_1}{BD} = \frac{5}{5} = 1$.Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

8. Длина диагонали куба $4\sqrt{3}$ см. Найдите ребро куба.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей диагональ куба $D$ и его ребро $a$.

Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Поскольку у куба все ребра равны, то формула имеет вид:

$D^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда, длина диагонали куба выражается как:

$D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

По условию задачи, длина диагонали куба $D = 4\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу и найдем длину ребра $a$:

$4\sqrt{3} = a\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a = 4$

Следовательно, ребро куба равно 4 см.

Ответ: 4 см.

9. Найдите площадь полной поверхности куба, если ребро равно:

а) 4 см;

б) 10 см;

в) 1 м.

Площадь полной поверхности куба — это сумма площадей всех его шести граней. Так как все грани куба являются одинаковыми квадратами, площадь полной поверхности можно найти по формуле: $S_{полн} = 6 \cdot a^2$, где $a$ – длина ребра куба.

а) Дано ребро куба $a = 4$ см.
Сначала найдем площадь одной грани: $S_{грани} = a^2 = 4^2 = 16$ см².
Теперь умножим площадь одной грани на 6, чтобы найти площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot 16 = 96$ см².
Ответ: $96$ см².

б) Дано ребро куба $a = 10$ см.
Найдем площадь одной грани: $S_{грани} = a^2 = 10^2 = 100$ см².
Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot 100 = 600$ см².
Ответ: $600$ см².

в) Дано ребро куба $a = 1$ м.
Найдем площадь одной грани: $S_{грани} = a^2 = 1^2 = 1$ м².
Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 6 \cdot 1 = 6$ м².
Ответ: $6$ м².

10. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей куба, если его ребро равно:

а) 6 см;

б) 10 см;

в) 12 см.

Для решения задачи воспользуемся формулами для вычисления площади боковой и полной поверхностей куба. Пусть $a$ – длина ребра куба.

Площадь одной грани куба, которая является квадратом, вычисляется по формуле $S_{грани} = a^2$.

Площадь боковой поверхности куба ($S_{бок}$) – это сумма площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = 4 \times a^2$.

Площадь полной поверхности куба ($S_{полн}$) – это сумма площадей всех шести граней: $S_{полн} = 6 \times a^2$.

а) Если ребро куба равно $a = 6$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \times (6 \text{ см})^2 = 4 \times 36 \text{ см}^2 = 144 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 6 \times (6 \text{ см})^2 = 6 \times 36 \text{ см}^2 = 216 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности – $144 \text{ см}^2$, площадь полной поверхности – $216 \text{ см}^2$.

б) Если ребро куба равно $a = 10$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \times (10 \text{ см})^2 = 4 \times 100 \text{ см}^2 = 400 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 6 \times (10 \text{ см})^2 = 6 \times 100 \text{ см}^2 = 600 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности – $400 \text{ см}^2$, площадь полной поверхности – $600 \text{ см}^2$.

в) Если ребро куба равно $a = 12$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \times (12 \text{ см})^2 = 4 \times 144 \text{ см}^2 = 576 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 6 \times (12 \text{ см})^2 = 6 \times 144 \text{ см}^2 = 864 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности – $576 \text{ см}^2$, площадь полной поверхности – $864 \text{ см}^2$.

11. Дан прямоугольный параллелепипед, в его основании лежит прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см, высота параллелепипеда равна 2 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этого параллелепипеда.

Для решения задачи используем заданные размеры прямоугольного параллелепипеда:
Стороны основания: $a = 4$ см и $b = 2$ см.
Высота: $h = 2$ см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S_{бок}$) — это сумма площадей его боковых граней (четырех прямоугольников). Её можно вычислить по формуле, умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.
Формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
1. Сначала найдем периметр прямоугольника, лежащего в основании:
$P_{осн} = 2 \cdot (a + b)$
Подставим числовые значения:
$P_{осн} = 2 \cdot (4 + 2) = 2 \cdot 6 = 12$ см.
2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, умножив полученный периметр основания на высоту:
$S_{бок} = 12 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 24$ см².
Ответ: площадь боковой поверхности равна $24$ см².

Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности параллелепипеда ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего).
Формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
1. Сначала найдем площадь основания. В основании лежит прямоугольник, его площадь равна произведению его сторон:
$S_{осн} = a \cdot b$
Подставим числовые значения:
$S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 8$ см².
2. Теперь вычислим площадь полной поверхности, используя найденные ранее значения площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$:
$S_{полн} = 24 \text{ см}² + 2 \cdot 8 \text{ см}² = 24 \text{ см}² + 16 \text{ см}² = 40$ см².
Для проверки можно использовать общую формулу площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$S_{полн} = 2(ab + ah + bh)$
$S_{полн} = 2 \cdot (4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (8 + 8 + 4) = 2 \cdot 20 = 40$ см².
Результаты совпадают.
Ответ: площадь полной поверхности равна $40$ см².

12. Длина доски равна 6 см, ширина – 24 см, толщина – 3 см. Найдите площадь ее полной поверхности.

Для нахождения площади полной поверхности доски, мы будем рассматривать ее как геометрическую фигуру — прямоугольный параллелепипед. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Формула для расчета выглядит следующим образом:
$S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$
где $a$ — длина, $b$ — ширина, а $c$ — толщина (или высота) параллелепипеда.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие размеры:
Длина $a = 6$ см
Ширина $b = 24$ см
Толщина $c = 3$ см
Теперь подставим эти значения в формулу:
$S = 2 \cdot (6 \cdot 24 + 24 \cdot 3 + 6 \cdot 3)$
Выполним вычисления поэтапно:
1. Вычислим произведения в скобках (площади трех разных граней):
$6 \cdot 24 = 144$
$24 \cdot 3 = 72$
$6 \cdot 3 = 18$
2. Сложим полученные значения:
$144 + 72 + 18 = 234$
3. Умножим результат на 2, чтобы учесть все шесть граней (поскольку каждая грань имеет парную):
$S = 2 \cdot 234 = 468$
Таким образом, площадь полной поверхности доски составляет 468 квадратных сантиметров.
Ответ: 468 см².

13. Вычислите длину ребра куба, если его полная поверхность равна:

а) 150 $\text{см}^2$;

б) 600 $\text{см}^2$;

в) 216 $\text{см}^2$.

Для нахождения длины ребра куба воспользуемся формулой площади его полной поверхности. Полная поверхность куба ($S$) состоит из 6 одинаковых квадратных граней. Если длина ребра куба равна $a$, то площадь одной грани равна $a^2$. Следовательно, формула полной поверхности куба имеет вид:
$S = 6a^2$
Чтобы найти длину ребра $a$, нужно выразить ее из этой формулы:
$a^2 = S / 6$
$a = \sqrt{S/6}$
Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано, что полная поверхность $S = 150$ см².
Подставляем значение в формулу:
$a = \sqrt{150 / 6} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

б) Дано, что полная поверхность $S = 600$ см².
Подставляем значение в формулу:
$a = \sqrt{600 / 6} = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

в) Дано, что полная поверхность $S = 216$ см².
Подставляем значение в формулу:
$a = \sqrt{216 / 6} = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

14. Вычислите площадь полной поверхности куба, если площадь его боковой поверхности равна:

а) $64 cm^2$;

б) $324 cm^2$;

в) $576 cm^2$.

Площадь боковой поверхности куба ($S_{бок}$) — это сумма площадей четырех его боковых граней, которые являются одинаковыми квадратами. Площадь полной поверхности куба ($S_{полн}$) — это сумма площадей всех шести его граней.

Таким образом, если площадь одной грани равна $S_{грани}$, то $S_{бок} = 4 \cdot S_{грани}$, а $S_{полн} = 6 \cdot S_{грани}$.

Из этих формул можно найти соотношение между площадью полной поверхности и площадью боковой поверхности:$S_{полн} = \frac{6}{4} \cdot S_{бок} = 1.5 \cdot S_{бок}$.

Теперь, используя эту зависимость, вычислим площадь полной поверхности для каждого из заданных случаев.

а)

Если площадь боковой поверхности $S_{бок} = 64 \text{ см}^2$, то площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = 1.5 \cdot 64 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$.

б)

Если площадь боковой поверхности $S_{бок} = 324 \text{ см}^2$, то площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = 1.5 \cdot 324 = 486 \text{ см}^2$.

Ответ: $486 \text{ см}^2$.

в)

Если площадь боковой поверхности $S_{бок} = 576 \text{ см}^2$, то площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = 1.5 \cdot 576 = 864 \text{ см}^2$.

Ответ: $864 \text{ см}^2$.

15. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $24 \text{ дм}^2$, $28 \text{ дм}^2$ и $42 \text{ м}^2$. Найдите его измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a, b$ и $c$.

Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Три грани, сходящиеся в одной вершине, имеют площади, равные произведениям измерений, взятых попарно. Обозначим эти площади как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

В условии задачи даны площади трех граней: $24 \text{ дм}^2$, $28 \text{ дм}^2$ и $42 \text{ м}^2$. Заметим, что одна из площадей дана в квадратных метрах, в то время как две другие — в квадратных дециметрах. Вероятнее всего, это опечатка, и третья площадь также должна быть в квадратных дециметрах, то есть $42 \text{ дм}^2$. Такое предположение оправдано, так как числа 24, 28 и 42 хорошо соотносятся друг с другом и приводят к целочисленному ответу, что типично для задач такого типа.

Итак, будем считать, что площади граней равны $S_1 = 24 \text{ дм}^2$, $S_2 = 28 \text{ дм}^2$ и $S_3 = 42 \text{ дм}^2$. Мы можем составить систему из трех уравнений:
$a \cdot b = 24$
$b \cdot c = 28$
$a \cdot c = 42$

Чтобы найти измерения $a, b, c$, перемножим все три уравнения:
$(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 24 \cdot 28 \cdot 42$
$a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 24 \cdot 28 \cdot 42$
$(a \cdot b \cdot c)^2 = 24 \cdot 28 \cdot 42$

Произведение $a \cdot b \cdot c$ является объемом параллелепипеда ($V$). Таким образом, $V^2 = (a \cdot b \cdot c)^2$. Вычислим правую часть. Для удобства разложим числа на множители:
$24 = 4 \cdot 6 = 2^2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Тогда:
$V^2 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 7) = 2^{3+2+1} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^{1+1} = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2$
$V^2 = (2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1)^2 = (8 \cdot 3 \cdot 7)^2 = (168)^2$

Отсюда объем параллелепипеда $V = 168 \text{ дм}^3$.

Теперь мы можем найти каждое измерение, разделив объем на площадь соответствующей грани. Напомним, что $V = (a \cdot b) \cdot c$. Так как $a \cdot b = 24$, то:
$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{168}{24} = 7 \text{ дм}$

Аналогично, $V = a \cdot (b \cdot c)$. Так как $b \cdot c = 28$, то:
$a = \frac{V}{b \cdot c} = \frac{168}{28} = 6 \text{ дм}$

И $V = b \cdot (a \cdot c)$. Так как $a \cdot c = 42$, то:
$b = \frac{V}{a \cdot c} = \frac{168}{42} = 4 \text{ дм}$

Таким образом, измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 7 дм.

Проверим:
$S_1 = 6 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^2$
$S_2 = 4 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм} = 28 \text{ дм}^2$
$S_3 = 6 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм} = 42 \text{ дм}^2$
Все площади соответствуют данным (с учетом нашего предположения об опечатке).

Ответ: измерения параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 7 дм.

16. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 0,6 м и 0,8 м. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна 1,3 м. Найдите его полную поверхность.

Для нахождения полной поверхности прямого параллелепипеда необходимо найти сумму площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Решение задачи можно разбить на следующие шаги:

1. Найдем сторону основания (ромба) и его площадь.

Основанием параллелепипеда является ромб. Диагонали ромба $d_1 = 0,8$ м и $d_2 = 0,6$ м взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $d_1/2 = 0,4$ м и $d_2/2 = 0,3$ м. Сторона ромба $a$ является гипотенузой этих треугольников. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{0,4^2 + 0,3^2} = \sqrt{0,16 + 0,09} = \sqrt{0,25} = 0,5$ м.

Площадь основания (ромба) $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,24$ м².

2. Найдем высоту параллелепипеда и площадь боковой поверхности.

Параллелепипед прямой, следовательно, его боковые грани — это прямоугольники. Стороны боковой грани равны стороне основания $a$ и высоте параллелепипеда $h$. Диагональ боковой грани $D_{бг} = 1,3$ м, сторона основания $a = 0,5$ м и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{D_{бг}^2 - a^2} = \sqrt{1,3^2 - 0,5^2} = \sqrt{1,69 - 0,25} = \sqrt{1,44} = 1,2$ м.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$.

Периметр основания (ромба): $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 0,5 = 2,0$ м.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 2,0 \cdot 1,2 = 2,4$ м².

3. Найдем полную поверхность параллелепипеда.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ — это сумма площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

Подставляем вычисленные значения:

$S_{полн} = 2 \cdot 0,24 + 2,4 = 0,48 + 2,4 = 2,88$ м².

Ответ: 2,88 м².

17. Длины трех измерений прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Ее полная поверхность равна $198 \text{ дм}^2$. Найдите его измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, длины трех измерений относятся как 1:2:3. Мы можем ввести коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить следующим образом:
$a = 1 \cdot x = x$ дм
$b = 2 \cdot x = 2x$ дм
$c = 3 \cdot x = 3x$ дм

Формула для нахождения площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:
$S_{полн.} = 2(ab + bc + ac)$

По условию, площадь полной поверхности равна 198 дм². Подставим известные значения и выражения для измерений в формулу:
$198 = 2((x)(2x) + (2x)(3x) + (x)(3x))$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$198 = 2(2x^2 + 6x^2 + 3x^2)$
$198 = 2(11x^2)$
$198 = 22x^2$

Найдем $x^2$:
$x^2 = \frac{198}{22}$
$x^2 = 9$

Так как $x$ представляет собой коэффициент для длины, его значение должно быть положительным:
$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины каждого из трех измерений параллелепипеда:
$a = x = 3$ дм
$b = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ дм
$c = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ дм

Проверим результат, подставив найденные измерения в формулу площади поверхности:
$S = 2(3 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + 3 \cdot 9) = 2(18 + 54 + 27) = 2(99) = 198$ дм².
Результат верный.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 дм, 6 дм и 9 дм.