Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Три грани параллелепипеда — прямоугольники. Следует ли из этого, что данный параллелепипед прямоугольный?

Нет, из того, что три грани параллелепипеда являются прямоугольниками, не обязательно следует, что данный параллелепипед прямоугольный.

Для того чтобы параллелепипед был прямоугольным, необходимо, чтобы все его шесть граней были прямоугольниками. Рассмотрим возможные варианты расположения трех граней-прямоугольников.

Пусть из одной вершины параллелепипеда выходят три ребра, которые можно представить векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Грани параллелепипеда являются параллелограммами, построенными на парах этих векторов. Грань является прямоугольником тогда и только тогда, когда векторы, ее образующие, взаимно перпендикулярны (их скалярное произведение равно нулю).

Случай 1: Три грани-прямоугольника имеют общую вершину.

Если три грани, являющиеся прямоугольниками, сходятся в одной вершине, это означает, что ребра, выходящие из этой вершины, попарно перпендикулярны.

Грань, построенная на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, является прямоугольником $\implies \vec{a} \perp \vec{b} \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Грань, построенная на векторах $\vec{a}$ и $\vec{c}$, является прямоугольником $\implies \vec{a} \perp \vec{c} \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
Грань, построенная на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$, является прямоугольником $\implies \vec{b} \perp \vec{c} \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

Условия $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ являются определением того, что параллелепипед является прямоугольным. В этом случае все шесть его граней будут прямоугольниками.

Случай 2: Три грани-прямоугольника не имеют общей вершины.

В параллелепипеде 6 граней, которые образуют 3 пары противолежащих граней. Если три грани не имеют общей вершины, это означает, что как минимум две из них являются противолежащими. Пусть две противолежащие грани являются прямоугольниками, и еще одна, смежная с ними, грань также является прямоугольником.

Например, пусть боковые грани, построенные на парах векторов $(\vec{a}, \vec{c})$ и $(\vec{b}, \vec{c})$, являются прямоугольниками. Так как противолежащие грани равны, то на самом деле прямоугольными будут все четыре боковые грани. Это означает, что боковое ребро $\vec{c}$ перпендикулярно двум ребрам основания, $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, ребро $\vec{c}$ перпендикулярно плоскости основания. Такой параллелепипед называется прямым.

Условия для этого случая:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

Однако для того, чтобы параллелепипед был прямоугольным, необходимо также, чтобы его основание было прямоугольником, то есть должно выполняться условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Но из двух первых равенств это условие никак не следует.

Контрпример:

Рассмотрим прямой параллелепипед, у которого в основании лежит параллелограмм, не являющийся прямоугольником (например, ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$).

В таком прямом параллелепипеде:

1. Два основания (верхнее и нижнее) являются параллелограммами, но не прямоугольниками.
2. Все четыре боковые грани являются прямоугольниками, так как боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Таким образом, у этого параллелепипеда четыре грани являются прямоугольниками, что удовлетворяет условию "три грани — прямоугольники". Однако сам параллелепипед не является прямоугольным, так как два его основания — не прямоугольники.

Ответ: Нет, не следует.

2. Нарисуйте различные по форме сечения параллелепипеды.

Сечение параллелепипеда плоскостью представляет собой многоугольник. В зависимости от положения секущей плоскости, в сечении могут получиться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники, так как плоскость может пересечь от трех до шести граней параллелепипеда.

Треугольник

Такое сечение получается, если секущая плоскость пересекает три ребра, выходящие из одной вершины параллелепипеда. На рисунке плоскость пересекает ребра, выходящие из вершины $A_1$.

Ответ: Треугольник.

Четырехугольник

Такое сечение получается, если плоскость пересекает четыре грани параллелепипеда. Поскольку противоположные грани параллелепипеда параллельны, то линии пересечения секущей плоскости с этими гранями также будут параллельны. Поэтому в сечении всегда получается трапеция или параллелограмм. На рисунке показано сечение в форме параллелограмма.

Ответ: Четырехугольник.

Пятиугольник

Такое сечение получается, если секущая плоскость пересекает пять из шести граней параллелепипеда. Это происходит, когда плоскость пересекает одну пару параллельных граней и еще три грани, которые не параллельны между собой.

Ответ: Пятиугольник.

Шестиугольник

Такое сечение получается, если секущая плоскость пересекает все шесть граней параллелепипеда. Стороны шестиугольника, лежащие на противоположных гранях, попарно параллельны.

Ответ: Шестиугольник.

3. Во сколько раз площадь поверхности куба больше площади поверхности его грани?

Для решения этой задачи определим, что такое куб и его поверхности. Куб — это трехмерная фигура, у которой 6 граней, и каждая грань является квадратом. Все грани куба равны между собой.

Пусть длина ребра (стороны) куба равна $a$.

Площадь одной грани куба — это площадь квадрата со стороной $a$. Она вычисляется по формуле:

$S_{грани} = a \times a = a^2$

Площадь полной поверхности куба складывается из площадей всех его шести граней. Так как все грани одинаковы, общая площадь поверхности равна площади одной грани, умноженной на 6:

$S_{куба} = 6 \times S_{грани} = 6 \times a^2 = 6a^2$

Чтобы найти, во сколько раз площадь поверхности куба больше площади его грани, нужно разделить площадь поверхности куба на площадь одной грани:

Отношение = $\frac{S_{куба}}{S_{грани}} = \frac{6a^2}{a^2}$

Сократив $a^2$ в числителе и знаменателе, получаем:

Отношение = 6

Таким образом, площадь поверхности куба в 6 раз больше площади одной его грани, и это соотношение не зависит от размера куба.

Ответ: в 6 раз.

4. Как изменится площадь поверхности куба, если все ребра куба увеличить в одно и то же число раз?

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$. Площадь поверхности куба $S_1$ равна сумме площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$, поэтому ее площадь равна $a^2$. Таким образом, начальная площадь поверхности куба вычисляется по формуле:

$S_1 = 6a^2$

Теперь увеличим все ребра куба в одно и то же число раз. Обозначим это число (коэффициент увеличения) как $k$. Новая длина ребра станет $a_2 = k \cdot a$.

Площадь одной грани нового куба будет равна квадрату новой длины ребра: $(a_2)^2 = (ka)^2 = k^2a^2$.

Новая площадь поверхности куба $S_2$, состоящая из шести таких граней, будет равна:

$S_2 = 6(a_2)^2 = 6(k^2a^2) = 6k^2a^2$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь поверхности, найдем отношение новой площади $S_2$ к старой площади $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{6k^2a^2}{6a^2} = k^2$

Следовательно, площадь поверхности куба увеличится в $k^2$ раз.

Ответ: Если все ребра куба увеличить в некоторое число ($k$) раз, то площадь его поверхности увеличится в квадрат этого числа ($k^2$) раз.

5. В прямоугольном параллелепипеде стороны (измерения) равны 4, 2 и 4. Вычислите длину диагонали параллелепипеда.

Для нахождения длины диагонали прямоугольного параллелепипеда используется формула, которая связывает диагональ с тремя его измерениями (длиной, шириной и высотой). Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, а длина диагонали равна $d$. Тогда формула имеет вид:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Соответственно, длина диагонали вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Согласно условию задачи, измерения параллелепипеда равны $a = 4$, $b = 2$ и $c = 4$.
Подставим данные значения в формулу для вычисления длины диагонали:
$d = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}$

Выполним вычисления поэтапно:
$d = \sqrt{16 + 4 + 16}$
$d = \sqrt{36}$
$d = 6$

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет 6 единиц.
Ответ: 6

6. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Найдите длины его диагоналей.

Рис. 35

Рис. 36

Для нахождения длины диагонали прямоугольного параллелепипеда используется формула, которая является пространственным аналогом теоремы Пифагора. Квадрат длины диагонали ($d$) равен сумме квадратов трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).

Формула для вычисления длины диагонали выглядит так:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

По условию задачи, измерения параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Примем $a = 2$ см, $b = 3$ см и $c = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:

$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ см.

Прямоугольный параллелепипед имеет четыре диагонали, и все они имеют одинаковую длину.

Ответ: 7 см.