Номер 1, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Три грани параллелепипеда — прямоугольники. Следует ли из этого, что данный параллелепипед прямоугольный?

Нет, из того, что три грани параллелепипеда являются прямоугольниками, не обязательно следует, что данный параллелепипед прямоугольный.

Для того чтобы параллелепипед был прямоугольным, необходимо, чтобы все его шесть граней были прямоугольниками. Рассмотрим возможные варианты расположения трех граней-прямоугольников.

Пусть из одной вершины параллелепипеда выходят три ребра, которые можно представить векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Грани параллелепипеда являются параллелограммами, построенными на парах этих векторов. Грань является прямоугольником тогда и только тогда, когда векторы, ее образующие, взаимно перпендикулярны (их скалярное произведение равно нулю).

Случай 1: Три грани-прямоугольника имеют общую вершину.

Если три грани, являющиеся прямоугольниками, сходятся в одной вершине, это означает, что ребра, выходящие из этой вершины, попарно перпендикулярны.

Грань, построенная на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, является прямоугольником $\implies \vec{a} \perp \vec{b} \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Грань, построенная на векторах $\vec{a}$ и $\vec{c}$, является прямоугольником $\implies \vec{a} \perp \vec{c} \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
Грань, построенная на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$, является прямоугольником $\implies \vec{b} \perp \vec{c} \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

Условия $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ являются определением того, что параллелепипед является прямоугольным. В этом случае все шесть его граней будут прямоугольниками.

Случай 2: Три грани-прямоугольника не имеют общей вершины.

В параллелепипеде 6 граней, которые образуют 3 пары противолежащих граней. Если три грани не имеют общей вершины, это означает, что как минимум две из них являются противолежащими. Пусть две противолежащие грани являются прямоугольниками, и еще одна, смежная с ними, грань также является прямоугольником.

Например, пусть боковые грани, построенные на парах векторов $(\vec{a}, \vec{c})$ и $(\vec{b}, \vec{c})$, являются прямоугольниками. Так как противолежащие грани равны, то на самом деле прямоугольными будут все четыре боковые грани. Это означает, что боковое ребро $\vec{c}$ перпендикулярно двум ребрам основания, $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, ребро $\vec{c}$ перпендикулярно плоскости основания. Такой параллелепипед называется прямым.

Условия для этого случая:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

Однако для того, чтобы параллелепипед был прямоугольным, необходимо также, чтобы его основание было прямоугольником, то есть должно выполняться условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Но из двух первых равенств это условие никак не следует.

Контрпример:

Рассмотрим прямой параллелепипед, у которого в основании лежит параллелограмм, не являющийся прямоугольником (например, ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$).

В таком прямом параллелепипеде:

1. Два основания (верхнее и нижнее) являются параллелограммами, но не прямоугольниками.
2. Все четыре боковые грани являются прямоугольниками, так как боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Таким образом, у этого параллелепипеда четыре грани являются прямоугольниками, что удовлетворяет условию "три грани — прямоугольники". Однако сам параллелепипед не является прямоугольным, так как два его основания — не прямоугольники.

Ответ: Нет, не следует.