Номер 10, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

10. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна $72 \text{ дм}^2$, а диагональ боковой грани — 5 дм. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 6a$. Следовательно, $S_{бок} = 6ah$.

По условию задачи $S_{бок} = 72$ дм², получаем первое уравнение:
$6ah = 72$
$ah = \frac{72}{6}$
$ah = 12$ (1)

Боковая грань призмы — это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ боковой грани $d$ связана со сторонами по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + h^2$. По условию $d = 5$ дм.
Получаем второе уравнение:
$a^2 + h^2 = 5^2$
$a^2 + h^2 = 25$ (2)

Для нахождения $a$ и $h$ решим систему уравнений:
$\begin{cases} ah = 12 \\ a^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $h = \frac{12}{a}$ и подставим во второе уравнение:
$a^2 + \left(\frac{12}{a}\right)^2 = 25$
$a^2 + \frac{144}{a^2} = 25$
Умножив обе части на $a^2$ (где $a \ne 0$), получим биквадратное уравнение:
$a^4 - 25a^2 + 144 = 0$

Сделаем замену $x = a^2$ (где $x > 0$):
$x^2 - 25x + 144 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16$
$x_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$

Поскольку $a^2 = x$, то $a = \sqrt{x}$.
Если $a^2 = 16$, то $a = 4$ дм. Тогда высота $h = \frac{12}{a} = \frac{12}{4} = 3$ дм.
Если $a^2 = 9$, то $a = 3$ дм. Тогда высота $h = \frac{12}{a} = \frac{12}{3} = 4$ дм.
Оба набора значений являются решениями задачи.

Ответ: сторона основания равна 3 дм и высота равна 4 дм, или сторона основания равна 4 дм и высота равна 3 дм.