Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Приведите примеры тел, имеющих форму призмы.

Призма — это многогранник, у которого две грани, называемые основаниями, являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани, называемые боковыми, являются параллелограммами. Форма многоугольника в основании определяет тип призмы. Например, если в основании лежит треугольник, призма называется треугольной, если шестиугольник — шестиугольной. Многие окружающие нас предметы имеют форму, близкую к призме.

Примеры тел, имеющих форму четырехугольной призмы (в частности, прямоугольного параллелепипеда):

Это наиболее распространенный вид призмы в быту. К нему относятся: кирпич, книга, спичечный коробок, любая картонная коробка (например, из-под сока или обуви), шкаф, здание стандартной постройки, аквариум, деревянный брусок.

Примеры тел, имеющих форму треугольной призмы:

Предметы такой формы встречаются реже, но тоже узнаваемы: двускатная крыша дома, классическая туристическая палатка, упаковка шоколада «Toblerone», клин для колки дров, а также стеклянная призма, используемая в оптических экспериментах для разложения света.

Примеры тел, имеющих форму шестиугольной призмы:

К таким телам можно отнести: металлическую гайку, не заточенный шестигранный карандаш, пчелиную соту в улье.

Ответ: Примерами тел в форме призмы могут служить: кирпич, книга, коробка (четырехугольная призма); туристическая палатка, крыша дома (треугольная призма); гайка, не заточенный карандаш (шестиугольная призма).

2. Можно ли считать, что изображенная на рис. 25 фундаментальная подушка имеет форму призмы?

Рис. 25

Да, изображенную на рис. 25 фундаментную подушку можно считать призмой.

Согласно геометрическому определению, призма — это многогранник, у которого две грани (называемые основаниями) являются равными многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях, а остальные грани (называемые боковыми) являются параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.

Рассмотрим фигуру фундаментной подушки:

1. Основаниями этой фигуры являются две её торцевые грани. Каждая из этих граней представляет собой пятиугольник.

2. Эти два пятиугольных основания равны между собой и лежат в параллельных плоскостях.

3. Боковыми гранями являются грани, соединяющие основания. В данном случае это: одна верхняя горизонтальная грань, две наклонные грани и две боковые вертикальные грани. Все эти боковые грани имеют форму прямоугольников. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Поскольку тело на рисунке полностью соответствует определению призмы, его можно считать призмой. Более точно, это прямая пятиугольная призма.

Ответ: Да, можно, так как это тело является многогранником, у которого две грани (торцевые пятиугольники) равны и параллельны, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (в данном случае, прямоугольники).

3. Докажите, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Для доказательства того, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, воспользуемся определениями призмы и прямой призмы.

По определению, призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а все остальные грани (боковые грани) — параллелограммами.

Следовательно, каждая боковая грань любой призмы, включая прямую, является параллелограммом. Рассмотрим произвольную боковую грань $A_1A_2B_2B_1$ прямой n-угольной призмы. Эта грань является параллелограммом.

По определению, прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это значит, что боковое ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости основания $\alpha$.

Из свойства перпендикулярности прямой и плоскости следует, что если прямая ($A_1B_1$) перпендикулярна плоскости ($\alpha$), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения ($A_1$). Сторона основания $A_1A_2$ как раз является такой прямой.

Следовательно, боковое ребро $A_1B_1$ перпендикулярно стороне основания $A_1A_2$. Это означает, что угол между ними прямой: $\angle B_1A_1A_2 = 90^\circ$.

Мы имеем параллелограмм $A_1A_2B_2B_1$, у которого один из углов равен $90^\circ$. По свойству параллелограмма, все его углы в таком случае будут прямыми, а сам параллелограмм является прямоугольником.

Так как мы рассматривали произвольную боковую грань, данное доказательство справедливо для всех боковых граней прямой призмы.

Ответ: Утверждение доказано. По определению призмы, ее боковые грани — параллелограммы. По определению прямой призмы, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, а значит, и сторонам оснований. Таким образом, углы между боковыми ребрами и сторонами оснований прямые. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

4. Какие из фигур (рис. 26) являются развертками:

а) четырехугольной призмы;

б) треугольной призмы?

1

2

3

4

Рис. 26

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждую фигуру и определить, можно ли из нее сложить соответствующую призму путем сгибания по линиям.

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

• У треугольной призмы 5 граней: 2 треугольных основания и 3 боковые грани (обычно прямоугольники).
• У четырехугольной призмы 6 граней: 2 четырехугольных основания и 4 боковые грани (обычно прямоугольники).

а) четырехугольной призмы;

Для четырехугольной призмы развертка должна состоять из 6 граней-четырехугольников. Этому условию соответствуют фигуры 2 и 4.

Анализ фигуры 2:

Эта фигура состоит из шести прямоугольников. Попытаемся мысленно ее сложить. Если принять один из центральных прямоугольников за основание, то при сгибании соседних граней для формирования боковых сторон и второго основания окажется, что некоторые грани будут накладываться друг на друга, а для одной из сторон призмы грани не найдется. Например, если взять за основание нижний средний прямоугольник и поднять боковые стенки, то два прямоугольника (самый правый нижний и самый правый верхний) будут претендовать на одну и ту же позицию, создавая наложение. Следовательно, эта фигура не является разверткой призмы.

Анализ фигуры 4:

Эта фигура, известная как развертка куба или прямоугольного параллелепипеда, состоит из шести прямоугольников. Четыре прямоугольника, расположенные в ряд, образуют боковую поверхность призмы при сгибании. Два оставшихся прямоугольника, примыкающие сверху и снизу к одному из центральных, становятся верхним и нижним основаниями призмы. Все грани смыкаются правильно, без наложений и пробелов. Следовательно, эта фигура является разверткой четырехугольной призмы.

Ответ: разверткой четырехугольной призмы является фигура 4.

б) треугольной призмы?

Для треугольной призмы развертка должна состоять из 2 треугольников и 3 прямоугольников. Этому условию соответствуют фигуры 1 и 3.

Анализ фигуры 1:

Фигура состоит из трех прямоугольников, расположенных в ряд, и двух треугольников, примыкающих к противоположным сторонам центрального прямоугольника. При сгибании три прямоугольника образуют боковую поверхность призмы. Треугольники сгибаются вверх и становятся верхним и нижним основаниями. Такая конфигурация правильно формирует замкнутую треугольную призму. Следовательно, эта фигура является разверткой треугольной призмы.

Анализ фигуры 3:

Эта фигура состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. Однако их взаимное расположение не позволяет собрать призму. Если мысленно сложить два центральных прямоугольника и два треугольника на их концах, получится "корыто" с дном и двумя боковыми стенками, закрытое с одной стороны треугольным основанием. Третий прямоугольник, прикрепленный к стороне верхнего треугольника, окажется лишним и будет либо накладываться на одну из уже имеющихся граней, либо торчать в сторону. Правильно замкнуть призму из такой развертки невозможно. Следовательно, эта фигура не является разверткой призмы.

Ответ: разверткой треугольной призмы является фигура 1.

5. Площадь одной боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна $6 \, \text{дм}^2$. Найдите площадь ее боковой поверхности.

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Боковая поверхность такой призмы состоит из четырех боковых граней.

Поскольку призма является правильной, все ее боковые грани представляют собой равные друг другу прямоугольники. Следовательно, их площади также равны.

Согласно условию задачи, площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) равна 6 дм².

Площадь всей боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех ее боковых граней. Так как у призмы 4 одинаковые боковые грани, для нахождения общей площади боковой поверхности нужно умножить площадь одной грани на их количество:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани}$

$S_{бок} = 4 \cdot 6 = 24$ дм²

Ответ: 24 дм².

6. Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а диагональ боковой грани – 13 см.

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Боковые грани такой призмы являются равными прямоугольниками.

В нашей задаче даны:

• Сторона основания (квадрата) $a = 5$ см.
• Диагональ боковой грани $d = 13$ см.

Нужно найти высоту призмы $h$.

Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами, равными стороне основания $a$ и высоте призмы $h$. Диагональ $d$ этой грани делит ее на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной основания $a$, высотой призмы $h$ и диагональю боковой грани $d$. В этом треугольнике $a$ и $h$ являются катетами, а $d$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $d^2 = a^2 + h^2$

Выразим из этой формулы высоту $h$: $h^2 = d^2 - a^2$

Подставим известные значения $a=5$ см и $d=13$ см: $h^2 = 13^2 - 5^2$ $h^2 = 169 - 25$ $h^2 = 144$ $h = \sqrt{144}$ $h = 12$ см

Таким образом, высота правильной четырехугольной призмы равна 12 см.

Ответ: 12 см.

7. Боковое ребро треугольной прямой призмы равно 4 см, а стороны оснований равны 3 см, 5 см и 6 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту. В прямой призме высота равна длине бокового ребра.

Дано:

Стороны основания (треугольника): $a = 3$ см, $b = 5$ см, $c = 6$ см.

Длина бокового ребра (высота призмы): $h = 4$ см.

Формула для нахождения площади боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

1. Найдем периметр треугольника, лежащего в основании призмы:

$P_{осн} = a + b + c = 3 + 5 + 6 = 14$ см.

2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы, умножив периметр основания на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 14 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 56$ см².

Ответ: 56 см².

8. Боковое ребро треугольной наклонной призмы равно 8 см, а расстояние между боковыми ребрами равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) находится по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ – длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение – это многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В нашем случае призма треугольная, следовательно, ее перпендикулярное сечение – это треугольник.

Из условия задачи нам даны:

• Длина бокового ребра $l = 8$ см.
• Расстояния между боковыми ребрами, которые являются сторонами перпендикулярного сечения, равны 3 см, 4 см и 5 см.

Найдем периметр перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$), который представляет собой треугольник со сторонами $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см:

$P_{\perp} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$ см.

Теперь, зная периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: 96 см².

9. В треугольной прямой призме все ее ребра равны. Ее боковая поверхность равна $48 \text{ см}^2$. Найдите полную поверхность призмы.

Пусть $a$ — длина ребра прямой треугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны. Это означает, что в основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, а высота призмы также равна $a$.

Боковая поверхность призмы состоит из трех одинаковых граней. Так как призма прямая, ее боковые грани — прямоугольники. Поскольку высота призмы равна стороне основания ($a$), то эти грани являются квадратами со стороной $a$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех боковых граней (квадратов):

$S_{бок} = 3 \cdot a^2$

По условию, $S_{бок} = 48 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу и найдем $a$:

$3a^2 = 48$

$a^2 = \frac{48}{3}$

$a^2 = 16$

$a = \sqrt{16} = 4$ см.

Полная поверхность призмы $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания ($S_{осн}$):

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $a = 4$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 4$ см:

$S_{осн} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь можем найти полную поверхность призмы:

$S_{полн} = 48 + 2 \cdot 4\sqrt{3} = 48 + 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $48 + 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.

10. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна $72 \text{ дм}^2$, а диагональ боковой грани — 5 дм. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 6a$. Следовательно, $S_{бок} = 6ah$.

По условию задачи $S_{бок} = 72$ дм², получаем первое уравнение:
$6ah = 72$
$ah = \frac{72}{6}$
$ah = 12$ (1)

Боковая грань призмы — это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ боковой грани $d$ связана со сторонами по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + h^2$. По условию $d = 5$ дм.
Получаем второе уравнение:
$a^2 + h^2 = 5^2$
$a^2 + h^2 = 25$ (2)

Для нахождения $a$ и $h$ решим систему уравнений:
$\begin{cases} ah = 12 \\ a^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $h = \frac{12}{a}$ и подставим во второе уравнение:
$a^2 + \left(\frac{12}{a}\right)^2 = 25$
$a^2 + \frac{144}{a^2} = 25$
Умножив обе части на $a^2$ (где $a \ne 0$), получим биквадратное уравнение:
$a^4 - 25a^2 + 144 = 0$

Сделаем замену $x = a^2$ (где $x > 0$):
$x^2 - 25x + 144 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16$
$x_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$

Поскольку $a^2 = x$, то $a = \sqrt{x}$.
Если $a^2 = 16$, то $a = 4$ дм. Тогда высота $h = \frac{12}{a} = \frac{12}{4} = 3$ дм.
Если $a^2 = 9$, то $a = 3$ дм. Тогда высота $h = \frac{12}{a} = \frac{12}{3} = 4$ дм.
Оба набора значений являются решениями задачи.

Ответ: сторона основания равна 3 дм и высота равна 4 дм, или сторона основания равна 4 дм и высота равна 3 дм.