Страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

11. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна $80 \text{ дм}^2$, а площадь боковой поверхности – $64 \text{ дм}^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади двух оснований ($S_{осн}$). Формула имеет вид:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

По условию задачи $S_{полн} = 80 \text{ дм}^2$ и $S_{бок} = 64 \text{ дм}^2$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти площадь одного основания.

$80 = 64 + 2 \cdot S_{осн}$

Вычтем из площади полной поверхности площадь боковой поверхности, чтобы найти суммарную площадь двух оснований:

$2 \cdot S_{осн} = 80 - 64 = 16 \text{ дм}^2$

Теперь найдем площадь одного основания:

$S_{осн} = \frac{16}{2} = 8 \text{ дм}^2$

Призма является правильной четырехугольной, это означает, что в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда площадь основания вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$.

$a^2 = 8$

$a = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \text{ дм}$

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр квадрата с стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ дм}$

Теперь, зная площадь боковой поверхности и периметр основания, мы можем найти высоту $h$:

$64 = 8\sqrt{2} \cdot h$

$h = \frac{64}{8\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$

Ответ: высота призмы равна $4\sqrt{2}$ дм.

12. Две боковые грани треугольной наклонной призмы взаимно перпендикулярны. Их общее ребро равно 4,8 м и удалено от остальных боковых ребер на 1,2 м и 3,5 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы можно найти по формуле:

$S_{бок} = P_{п.с.} \cdot l$

где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{п.с.}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Из условия задачи нам дано, что длина общего бокового ребра двух перпендикулярных граней равна 4,8 м. В призме все боковые ребра равны, следовательно, $l = 4,8$ м.

Перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам. В нашем случае это треугольник.

Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ взаимно перпендикулярны. Их общее ребро — $BB_1$. Построим перпендикулярное сечение $KLM$, где точки $K$, $L$, $M$ лежат на боковых ребрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Так как плоскость сечения $KLM$ перпендикулярна ребрам, то стороны сечения $KL$ и $LM$ перпендикулярны ребру $BB_1$.

Угол между гранями $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равен углу между линиями $KL$ и $LM$ в перпендикулярном сечении. Поскольку грани перпендикулярны, угол $\angle KLM = 90^\circ$. Следовательно, перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником.

Расстояние между параллельными боковыми ребрами равно длине соответствующей стороны перпендикулярного сечения. По условию, общее ребро (пусть это $BB_1$) удалено от остальных боковых ребер ($AA_1$ и $CC_1$) на 1,2 м и 3,5 м. Это означает, что катеты прямоугольного треугольника $KLM$ равны:

$KL = 1,2$ м

$LM = 3,5$ м

Для нахождения периметра перпендикулярного сечения $P_{п.с.}$ необходимо найти длину гипотенузы $KM$ по теореме Пифагора:

$KM^2 = KL^2 + LM^2$

$KM^2 = (1,2)^2 + (3,5)^2 = 1,44 + 12,25 = 13,69$

$KM = \sqrt{13,69} = 3,7$ м

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения:

$P_{п.с.} = KL + LM + KM = 1,2 + 3,5 + 3,7 = 8,4$ м

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{п.с.} \cdot l = 8,4 \cdot 4,8 = 40,32$ м$^2$

Ответ: 40,32 м$^2$.

13. Боковое ребро наклонной призмы составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите ее высоту.

Пусть $l$ — это длина бокового ребра наклонной призмы, $h$ — её высота, а $\alpha$ — угол, который боковое ребро составляет с плоскостью основания. Из условия задачи нам дано, что $l = 12$ см и $\alpha = 30^{\circ}$.

Высота призмы $h$, боковое ребро $l$ и проекция этого ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, который лежит напротив угла $\alpha$.

Связь между катетом, гипотенузой и противолежащим углом в прямоугольном треугольнике выражается через синус: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{l} $

Из этой формулы мы можем выразить высоту $h$: $ h = l \cdot \sin(\alpha) $

Теперь подставим известные нам значения в эту формулу: $ h = 12 \cdot \sin(30^{\circ}) $

Мы знаем, что значение синуса $30^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$: $ h = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

14. Через два противоположных ребра куба проведено сечение, площадь которого равна $64\sqrt{2}$ $\text{см}^2$. Найдите диагональ боковой грани и ребра куба.

Пусть ребро куба равно $a$. Сечение, проведенное через два противоположных ребра куба, представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это ребро куба $a$ и диагональ боковой грани $d$. Для наглядности представим куб и его сечение на рисунке.

Боковая грань куба является квадратом со стороной $a$. По теореме Пифагора, ее диагональ $d$ равна:$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Площадь прямоугольного сечения $S$ равна произведению его сторон:$S = a \cdot d = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$

Ребро куба
По условию задачи, площадь сечения $S = 64\sqrt{2}$ см². Используя выведенную формулу для площади, мы можем составить уравнение для нахождения ребра куба $a$:$a^2\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$Разделив обе части уравнения на $\sqrt{2}$, получаем:$a^2 = 64$Поскольку длина ребра является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:$a = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: ребро куба равно 8 см.

Диагональ боковой грани
Теперь, зная длину ребра куба, мы можем найти диагональ боковой грани. Подставим значение $a = 8$ см в формулу для диагонали $d = a\sqrt{2}$:$d = 8\sqrt{2}$ см.
Ответ: диагональ боковой грани равна $8\sqrt{2}$ см.

15. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты основания равны $20$ см и $21$ см, а боковое ребро равно $42$ см.

Пусть дана прямая призма $ABCA'B'C'$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=20$ см и $BC=21$ см. Прямой угол находится в вершине $C$. Высота призмы (длина бокового ребра) равна $h = AA' = 42$ см.

1. Найдем длину гипотенузы основания.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см.

2. Определим форму сечения.

По условию, секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину гипотенузы $AB$ (обозначим эту точку $M$) и перпендикулярна ей.

Так как призма прямая, ее боковые ребра ($AA'$, $BB'$, $CC'$) перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Гипотенуза $AB$ лежит в плоскости основания, следовательно, боковые ребра перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Итак, и секущая плоскость $\alpha$, и боковые ребра призмы перпендикулярны одной и той же прямой $AB$. Это означает, что боковые ребра параллельны секущей плоскости $\alpha$.

Если плоскость пересекает призму и при этом параллельна ее боковым ребрам, то линии пересечения этой плоскости с боковыми гранями будут параллельны боковым ребрам. Поскольку боковые ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям, то и эти линии пересечения будут перпендикулярны линиям пересечения плоскости с основаниями.

Следовательно, сечение представляет собой прямоугольник.

3. Найдем размеры прямоугольника сечения.

Одна сторона прямоугольника сечения равна высоте призмы, то есть $42$ см.

Вторую сторону, обозначим ее $w$, найдем как длину отрезка, который секущая плоскость высекает в основании $ABC$. Этот отрезок (на рисунках обозначен как $PM$) лежит на прямой, проходящей через точку $M$ (середину $AB$) перпендикулярно $AB$.

Рассмотрим треугольник основания $ABC$. Пусть $\angle B$ — угол при вершине $B$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс этого угла равен: $\tan(\angle B) = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$

Отрезок $PM$ является катетом в новом прямоугольном треугольнике $PBM$, где $\angle M = 90^{\circ}$ (так как $PM \perp AB$). Катет $BM$ равен половине гипотенузы $AB$: $BM = \frac{AB}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$ см.

Теперь из треугольника $PBM$ можем найти длину катета $PM$, который и является искомой шириной сечения $w$: $w = PM = BM \cdot \tan(\angle B)$ $w = 14.5 \cdot \frac{20}{21} = \frac{29}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{29 \cdot 10}{21} = \frac{290}{21}$ см.

4. Вычислим площадь сечения.

Площадь $S$ прямоугольного сечения равна произведению его сторон: $S = h \cdot w = 42 \cdot \frac{290}{21}$

$S = (2 \cdot 21) \cdot \frac{290}{21} = 2 \cdot 290 = 580$ см$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна 580 см$^2$.