Номер 3, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. В какой пирамиде ее грань можно принять за основание?

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (называемая основанием) является многоугольником, а все остальные грани (называемые боковыми) — это треугольники, имеющие общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

Для того чтобы любую грань пирамиды можно было принять за основание, необходимо, чтобы все ее грани были одинаковыми по форме. Рассуждаем следующим образом:

1. Пусть у нас есть пирамида, основанием которой является $n$-угольник. Тогда у нее одна $n$-угольная грань (основание) и $n$ треугольных боковых граней.

2. Если мы захотим в качестве нового основания взять одну из боковых граней, то она будет треугольной. При этом бывшее основание ($n$-угольник) станет одной из новых боковых граней. Но по определению пирамиды все боковые грани должны быть треугольниками. Это возможно только в том случае, если исходное основание тоже было треугольником, то есть при $n=3$.

3. Таким образом, искомая пирамида должна быть треугольной пирамидой, также известной как тетраэдр. У тетраэдра все четыре грани являются треугольниками.

4. Чтобы любая из четырех треугольных граней могла служить основанием, не изменяя при этом геометрическую сущность фигуры, все эти грани должны быть равны друг другу (конгруэнтны). Если бы грани были разными, то, выбирая в качестве основания то один, то другой треугольник, мы бы получали пирамиды разной формы.

Тетраэдр, у которого все четыре грани — равные между собой треугольники, называется равногранным тетраэдром. Самый известный частный случай такого тетраэдра — это правильный тетраэдр, у которого все грани являются равными равносторонними треугольниками.

Ответ: Любую грань можно принять за основание в треугольной пирамиде (тетраэдре), у которой все четыре грани являются равными (конгруэнтными) друг другу. Такая пирамида называется равногранным тетраэдром.