Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

?!. 1. Сколько вершин, ребер и граней имеет:

а) четырехугольная пирамида;

б) пятиугольная пирамида;

в) десятиугольная пирамида?

Для решения этой задачи воспользуемся общими формулами для n-угольной пирамиды, где $n$ — это количество вершин (и сторон) многоугольника, лежащего в ее основании. Пирамида — это многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) — треугольники, имеющие общую вершину (апекс).

Общие формулы для n-угольной пирамиды:

• Количество вершин (В): $В = n + 1$. ($n$ вершин в основании плюс 1 апекс).

• Количество ребер (Р): $Р = 2n$. ($n$ ребер в основании плюс $n$ боковых ребер).

• Количество граней (Г): $Г = n + 1$. (1 грань основания плюс $n$ боковых граней).

Теперь применим эти формулы к каждому случаю.

а) четырехугольная пирамида

В основании этой пирамиды лежит четырехугольник, поэтому $n = 4$.

Подставляем $n=4$ в формулы:

Количество вершин: $В = 4 + 1 = 5$.

Количество ребер: $Р = 2 \times 4 = 8$.

Количество граней: $Г = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5 вершин, 8 ребер, 5 граней.

б) пятиугольная пирамида

В основании этой пирамиды лежит пятиугольник, поэтому $n = 5$.

Подставляем $n=5$ в формулы:

Количество вершин: $В = 5 + 1 = 6$.

Количество ребер: $Р = 2 \times 5 = 10$.

Количество граней: $Г = 5 + 1 = 6$.

Ответ: 6 вершин, 10 ребер, 6 граней.

в) десятиугольная пирамида

В основании этой пирамиды лежит десятиугольник, поэтому $n = 10$. Изобразить такую пирамиду наглядно сложно, но мы можем легко рассчитать ее элементы по общим формулам.

Подставляем $n=10$ в формулы:

Количество вершин: $В = 10 + 1 = 11$.

Количество ребер: $Р = 2 \times 10 = 20$.

Количество граней: $Г = 10 + 1 = 11$.

Ответ: 11 вершин, 20 ребер, 11 граней.

2. Какое наименьшее число ребер может быть у многогранника? Каково наименьшее число граней?

Какое наименьшее число ребер может быть у многогранника?

Чтобы найти наименьшее число рёбер у многогранника, рассмотрим простейший из них — тетраэдр (треугольную пирамиду).

Тетраэдр имеет 4 вершины, 4 треугольные грани и 6 рёбер. Это показывает, что многогранник с 6 рёбрами существует. Теперь докажем, что число рёбер не может быть меньше 6.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $В - Р + Г = 2$, где $В$ – число вершин, $Р$ – число рёбер, $Г$ – число граней.

Кроме того, для любого многогранника выполняются два условия:
1. Каждая грань является многоугольником, то есть имеет не менее 3 рёбер. Сумма числа рёбер всех граней не меньше, чем $3Г$. Поскольку каждое ребро является общим для двух граней, удвоенное число рёбер $2Р$ не меньше $3Г$. Таким образом, $2Р \ge 3Г$.
2. В каждой вершине сходится не менее 3 рёбер. Сумма рёбер, сходящихся во всех вершинах, не меньше, чем $3В$. Так как каждое ребро соединяет две вершины, эта сумма равна $2Р$. Следовательно, $2Р \ge 3В$.

Из этих неравенств можно выразить $В$ и $Г$ через $Р$: $В \le \frac{2}{3}Р$ и $Г \le \frac{2}{3}Р$.

Подставим эти оценки в формулу Эйлера, предварительно выразив из неё $Р$: $Р = В + Г - 2$.

$Р \le \frac{2}{3}Р + \frac{2}{3}Р - 2$
$Р \le \frac{4}{3}Р - 2$
$2 \le \frac{4}{3}Р - Р$
$2 \le \frac{1}{3}Р$
$6 \le Р$

Таким образом, доказано, что наименьшее возможное число рёбер у многогранника равно 6.

Ответ: 6

Каково наименьшее число граней?

Чтобы найти наименьшее число граней, воспользуемся теми же соотношениями, что и в предыдущем пункте: формулой Эйлера $В - Р + Г = 2$ и неравенствами $2Р \ge 3Г$ и $2Р \ge 3В$.

Из формулы Эйлера выразим число вершин $В$:
$В = 2 + Р - Г$

Подставим это выражение в неравенство $2Р \ge 3В$:
$2Р \ge 3(2 + Р - Г)$
$2Р \ge 6 + 3Р - 3Г$
$3Г \ge Р + 6$

Теперь воспользуемся вторым неравенством, $2Р \ge 3Г$, из которого следует, что $Р \ge \frac{3}{2}Г$. Подставим эту оценку для $Р$ в полученное выше неравенство:
$3Г \ge (\frac{3}{2}Г) + 6$

Решим это неравенство относительно $Г$:
$3Г - \frac{3}{2}Г \ge 6$
$\frac{3}{2}Г \ge 6$
$3Г \ge 12$
$Г \ge 4$

Таким образом, наименьшее возможное число граней у многогранника — 4. Интуитивно это понятно, так как тремя плоскостями (гранями) невозможно ограничить замкнутый объём в пространстве. Примером многогранника с 4 гранями является уже упомянутый тетраэдр.

Ответ: 4

3. В какой пирамиде ее грань можно принять за основание?

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (называемая основанием) является многоугольником, а все остальные грани (называемые боковыми) — это треугольники, имеющие общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

Для того чтобы любую грань пирамиды можно было принять за основание, необходимо, чтобы все ее грани были одинаковыми по форме. Рассуждаем следующим образом:

1. Пусть у нас есть пирамида, основанием которой является $n$-угольник. Тогда у нее одна $n$-угольная грань (основание) и $n$ треугольных боковых граней.

2. Если мы захотим в качестве нового основания взять одну из боковых граней, то она будет треугольной. При этом бывшее основание ($n$-угольник) станет одной из новых боковых граней. Но по определению пирамиды все боковые грани должны быть треугольниками. Это возможно только в том случае, если исходное основание тоже было треугольником, то есть при $n=3$.

3. Таким образом, искомая пирамида должна быть треугольной пирамидой, также известной как тетраэдр. У тетраэдра все четыре грани являются треугольниками.

4. Чтобы любая из четырех треугольных граней могла служить основанием, не изменяя при этом геометрическую сущность фигуры, все эти грани должны быть равны друг другу (конгруэнтны). Если бы грани были разными, то, выбирая в качестве основания то один, то другой треугольник, мы бы получали пирамиды разной формы.

Тетраэдр, у которого все четыре грани — равные между собой треугольники, называется равногранным тетраэдром. Самый известный частный случай такого тетраэдра — это правильный тетраэдр, у которого все грани являются равными равносторонними треугольниками.

Ответ: Любую грань можно принять за основание в треугольной пирамиде (тетраэдре), у которой все четыре грани являются равными (конгруэнтными) друг другу. Такая пирамида называется равногранным тетраэдром.

4. Существует ли пирамида, у которой:

а) 4 ребра;

б) 6 ребер;

в) 11 ребер;

г) 30 ребер?

Чтобы определить, может ли существовать пирамида с заданным количеством ребер, необходимо проанализировать ее строение. У любой пирамиды есть основание, которое является многоугольником, и боковые грани, сходящиеся в одной вершине. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами). У этого основания есть $n$ вершин и $n$ ребер. Каждая из $n$ вершин основания соединена ребром с вершиной пирамиды. Эти ребра называются боковыми. Их количество также равно $n$. Таким образом, общее количество ребер $E$ в n-угольной пирамиде вычисляется по формуле: $E = (\text{ребра основания}) + (\text{боковые ребра}) = n + n = 2n$. Из этой формулы следует, что общее количество ребер в любой пирамиде всегда является четным числом. Кроме того, наименьший возможный многоугольник в основании — это треугольник, для которого $n=3$. Следовательно, минимальное количество ребер в пирамиде равно $2 \times 3 = 6$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) 4 ребра
Применим формулу $E = 2n$, где $E=4$:
$4 = 2n$
$n = 2$
Это означает, что в основании пирамиды должен лежать многоугольник с двумя сторонами (двухугольник), что геометрически невозможно. Минимальное число сторон для многоугольника — 3. Также, как мы выяснили, минимально возможное число ребер для пирамиды равно 6. Таким образом, пирамиды с 4 ребрами не существует.
Ответ: не существует.

б) 6 ребер
Применим формулу $E = 2n$, где $E=6$:
$6 = 2n$
$n = 3$
Это означает, что в основании пирамиды лежит треугольник. Такая фигура существует и называется треугольной пирамидой (или тетраэдром). У нее 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, что в сумме дает 6.
Ответ: существует.

в) 11 ребер
Общее количество ребер в пирамиде всегда является четным числом, так как $E=2n$. Число 11 является нечетным, поэтому пирамиды с 11 ребрами существовать не может. Если мы подставим это значение в формулу, то получим $n = 11/2 = 5.5$, что не является целым числом, а количество сторон многоугольника должно быть целым.
Ответ: не существует.

г) 30 ребер
Применим формулу $E = 2n$, где $E=30$:
$30 = 2n$
$n = 15$
Это означает, что в основании пирамиды лежит 15-угольник. Так как $n=15$ является целым числом и больше 3, то такая пирамида существует. У нее будет 15 ребер в основании и 15 боковых ребер, что в сумме составляет 30.
Ответ: существует.

5. Какими фигурами являются диагональные сечения правильной четырехугольной пирамиды?

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный четырехугольник (то есть квадрат), а вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Важным свойством такой пирамиды является равенство всех ее боковых ребер.

Диагональное сечение пирамиды — это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. В случае правильной четырехугольной пирамиды такая плоскость проходит через вершину пирамиды и одну из диагоналей ее квадратного основания.

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина.

Диагональное сечение, проходящее через диагональ $AC$ основания, представляет собой треугольник $SAC$. Сторонами этого треугольника являются:

• Два боковых ребра пирамиды: $SA$ и $SC$.
• Диагональ основания: $AC$.

По определению правильной пирамиды, все ее боковые ребра равны, следовательно, $SA = SC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Таким образом, диагональное сечение $SAC$ является равнобедренным треугольником.

Аналогично, второе диагональное сечение, проходящее через диагональ $BD$, образует треугольник $SBD$. Так как $SA = SB = SC = SD$ и диагонали квадрата равны ($AC = BD$), то оба диагональных сечения являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Ответ: равнобедренными треугольниками.

6. Какие фигуры могут получиться при пересечении плоскостью четырехугольной пирамиды, пятиугольной пирамиды? Выполните соответствующие рисунки.

Пересечение четырехугольной пирамиды

Сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Вершины этого многоугольника — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. У четырехугольной пирамиды 5 граней (одна грань основания и четыре боковые грани). Секущая плоскость может пересекать от трех до пяти граней, образуя в сечении соответственно треугольник, четырехугольник или пятиугольник.

Треугольник. Сечение является треугольником, если секущая плоскость пересекает три грани, сходящиеся в одной вершине (например, три боковые грани, как на рисунке, или основание и две смежные боковые грани).

Четырехугольник. Если секущая плоскость пересекает четыре грани пирамиды. Например, если плоскость параллельна основанию, она пересечет все четыре боковые грани, и в сечении получится четырехугольник, подобный основанию.

Пятиугольник. Если секущая плоскость пересекает все пять граней пирамиды (основание и четыре боковые грани), в сечении получается пятиугольник.

Ответ: При пересечении четырехугольной пирамиды плоскостью могут получиться треугольник, четырехугольник и пятиугольник.

Пересечение пятиугольной пирамиды

У пятиугольной пирамиды 6 граней (одна грань основания и пять боковых граней). Секущая плоскость может пересекать от трех до шести граней, образуя в сечении соответственно треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник.

Треугольник. Сечение образуется при пересечении трех граней, сходящихся в одной вершине.

Четырехугольник. Сечение образуется, если плоскость пересекает четыре грани пирамиды (например, основание и три боковые грани).

Пятиугольник. Сечение образуется, если плоскость пересекает пять граней. Например, если плоскость параллельна основанию, она пересечет все пять боковых граней.

Шестиугольник. Сечение образуется, если плоскость пересекает все шесть граней пирамиды (основание и пять боковых граней).

Ответ: При пересечении пятиугольной пирамиды плоскостью могут получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник.

7. Можно ли от данного куба отрезать четырехугольную пирамиду? Как это можно сделать? Выполните соответствующий чертеж.

Да, от данного куба можно отрезать четырехугольную пирамиду. Это можно сделать, выбрав в качестве основания пирамиды одну из граней куба, а в качестве ее вершины — любую из вершин, принадлежащих противоположной, параллельной ей грани.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание.

1. В качестве основания пирамиды выберем нижнюю грань куба — квадрат $ABCD$. Поскольку квадрат является четырехугольником, это удовлетворяет условию.

2. В качестве вершины пирамиды выберем, например, вершину $A_1$, лежащую на верхней грани.

Таким образом, мы получаем тело $A_1ABCD$, которое является четырехугольной пирамидой. Ее основание — квадрат $ABCD$, а боковыми гранями являются треугольники $\triangle A_1AB$, $\triangle A_1BC$, $\triangle A_1CD$ и $\triangle A_1DA$. Все вершины этой пирамиды $(A, B, C, D, A_1)$ являются вершинами исходного куба, и сама пирамида полностью содержится внутри него.

Ниже представлен соответствующий чертеж.

Ответ: Да, от куба можно отрезать четырехугольную пирамиду. Для этого нужно взять в качестве ее основания одну из граней куба, а в качестве вершины — любую вершину, лежащую на противоположной грани.

8. Известно, что в основании пирамиды лежит правильный многоугольник.

Является ли это условие достаточным для того, чтобы пирамида была правильной?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определение правильной пирамиды.

Пирамида называется правильной, если одновременно выполняются два условия:
1. Основанием пирамиды является правильный многоугольник.
2. Вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника (то есть основание высоты пирамиды совпадает с центром ее основания).

В условии задачи дано только то, что в основании пирамиды лежит правильный многоугольник. Это соответствует лишь первому пункту определения. Второе условие, касающееся положения вершины, может не выполняться. Если вершина пирамиды проецируется в любую точку, не являющуюся центром правильного многоугольника в основании, то такая пирамида не будет правильной. Она будет называться наклонной пирамидой.

Рассмотрим наглядный пример с двумя пирамидами, у которых в основании лежит один и тот же правильный многоугольник — квадрат ABCD.

На рисунке слева изображена правильная пирамида S-ABCD. Ее основание — квадрат, а ее вершина S проецируется в центр основания O (точка пересечения диагоналей).

На рисунке справа изображена наклонная пирамида S'-ABCD. У нее в основании лежит тот же квадрат, но ее вершина S' проецируется в вершину A основания.

Обе пирамиды имеют в основании правильный многоугольник, но только первая из них является правильной. Следовательно, одного лишь условия, что в основании лежит правильный многоугольник, недостаточно для того, чтобы пирамида была правильной.

Ответ: Нет, данное условие не является достаточным. Для того чтобы пирамида была правильной, необходимо также, чтобы ее вершина проецировалась в центр правильного многоугольника, лежащего в основании.

9. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — прямоугольник, а $S$ — вершина пирамиды. Все боковые ребра пирамиды равны по условию: $SA = SB = SC = SD = l = 13$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O$. Таким образом, высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $SA$ — гипотенуза, которая является боковым ребром пирамиды ($SA = 13$ см).
• $SO$ — катет, который является высотой пирамиды ($SO = H$).
• $OA$ — катет, который является половиной диагонали основания.

Диагональ прямоугольника в основании равна $d = 10$ см. Так как диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам, то длина отрезка $OA$ (радиус описанной окружности $R$) равна половине диагонали:
$OA = R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle SOA$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$l^2 = H^2 + R^2$

Подставим известные значения и найдем высоту $H$:
$13^2 = H^2 + 5^2$
$169 = H^2 + 25$
$H^2 = 169 - 25$
$H^2 = 144$
$H = \sqrt{144}$
$H = 12$ см.

Ответ: 12 см.

10. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Вычислите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Стороны основания равны $a = 18$ см и $b = 24$ см. Каждое боковое ребро пирамиды равно $l = 17$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, ее вершина $S$ проецируется в центр окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$. Центром описанной окружности для прямоугольника является точка пересечения его диагоналей $O$. Следовательно, высота пирамиды — это отрезок $SO$.

Высота $h = SO$, боковое ребро, например $SA = l$, и половина диагонали основания $R = AO$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, где $\angle SOA = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle SOA$: $l^2 = h^2 + R^2$. Отсюда, высоту можно выразить как $h = \sqrt{l^2 - R^2}$. Для вычисления высоты $h$ нам необходимо найти $R$.

1. Найдем диагональ основания.
Диагональ прямоугольника $d$ (например, $AC$) можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:
$d^2 = a^2 + b^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$ см$^2$
$d = \sqrt{900} = 30$ см.

2. Найдем половину диагонали.
Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали прямоугольника:
$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

3. Вычислим высоту пирамиды.
Теперь, зная боковое ребро $l=17$ см и половину диагонали $R=15$ см, мы можем найти высоту $h$:
$h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

11. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, в основании которой лежит равносторонний треугольник ABC, а S – её вершина. Сторона основания $a = 6$ см. Пусть SH – высота пирамиды, опущенная на плоскость основания (ABC), где H – основание высоты.

Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра SA на плоскость (ABC) является отрезок HA. Таким образом, по условию, угол $\angle SAH = 45°$.

Аналогично, для рёбер SB и SC углы с плоскостью основания равны $\angle SBH = 45°$ и $\angle SCH = 45°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHA$, $\triangle SHB$ и $\triangle SHC$. Они имеют общий катет SH (высота пирамиды). Так как углы при основаниях этих треугольников равны 45°, то эти треугольники являются равнобедренными. Отсюда следует, что вторые катеты этих треугольников равны первому катету SH:

$SH = HA$
$SH = HB$
$SH = HC$

Следовательно, $HA = HB = HC$. Это означает, что точка H равноудалена от всех вершин треугольника ABC, а значит, H является центром описанной окружности вокруг треугольника ABC.

Радиус R описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку треугольник $\triangle SHA$ является прямоугольным и равнобедренным, его катеты равны: $h = SH = HA$. Так как $HA = R$, то высота пирамиды равна радиусу описанной окружности основания.

$h = R = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

12. Известная пирамида Хеопса в Египте — правильная четырехугольная пирамида, высота которой приближенно равна 147 м, а площадь основания — 5,3 га. Найдите угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. В случае правильной четырехугольной пирамиды, пусть ее вершина будет $P$, а основание — квадрат $ABCD$. Центр основания, точка $O$, является точкой пересечения диагоналей квадрата. Отрезок $PO$ — это высота пирамиды $H$, а отрезок $OA$ — это проекция бокового ребра $PA$ на плоскость основания. Таким образом, искомый угол — это угол $\alpha = \angle PAO$ в прямоугольном треугольнике $POA$, где $\angle POA = 90^\circ$.

Для нахождения угла $\alpha$ воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике $POA$:$\tan(\alpha) = \frac{PO}{OA} = \frac{H}{OA}$Высота пирамиды дана по условию: $H \approx 147 \text{ м}$. Нам необходимо найти длину проекции $OA$.

Площадь основания $S_{осн}$ составляет $5,3$ га. Переведем эту величину в квадратные метры, учитывая, что $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$:$S_{осн} = 5.3 \times 10000 = 53000 \text{ м}^2$Основание пирамиды — квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_{осн} = a^2$. Диагональ квадрата $d$ связана со стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Проекция бокового ребра $OA$ равна половине диагонали основания: $OA = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Мы можем выразить длину $OA$ через площадь основания. Поскольку $a = \sqrt{S_{осн}}$, то:$OA = \frac{\sqrt{S_{осн}}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{2 S_{осн}}{4}} = \sqrt{\frac{S_{осн}}{2}}$Подставим числовое значение площади:$OA = \sqrt{\frac{53000}{2}} = \sqrt{26500} \text{ м}$

Теперь, когда известны оба катета треугольника $POA$, мы можем вычислить тангенс угла $\alpha$:$\tan(\alpha) = \frac{H}{OA} = \frac{147}{\sqrt{26500}}$Произведем вычисления: $\sqrt{26500} \approx 162.788 \text{ м}$.$\tan(\alpha) \approx \frac{147}{162.788} \approx 0.90301$Искомый угол $\alpha$ найдем как арктангенс полученного значения:$\alpha = \arctan(0.90301) \approx 42.086^\circ$

Округлив результат до десятых, получаем, что угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет примерно $42.1^\circ$.

Ответ: приближенно $42.1^\circ$.

13. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания – 8 см. Найдите боковое ребро.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где ABCD – квадратное основание, а S – вершина пирамиды. Высота SO опускается в центр основания O, который является точкой пересечения диагоналей квадрата.

Дано:
Высота пирамиды $H = SO = 7$ см.
Сторона основания $a = AB = 8$ см.

Найти:
Боковое ребро $l$ (например, SA).

Решение:

1. Боковое ребро (l), высота (H) и половина диагонали основания (R) образуют прямоугольный треугольник. В нашем случае это треугольник SOA, где $\angle SOA = 90^\circ$. Гипотенузой является боковое ребро SA, а катетами – высота SO и отрезок AO (половина диагонали AC).

2. По теореме Пифагора для треугольника SOA: $SA^2 = SO^2 + AO^2$, или $l^2 = H^2 + R^2$.

3. Сначала найдем длину диагонали основания AC. Так как основание – квадрат со стороной $a=8$ см, его диагональ $d$ можно найти по теореме Пифагора для треугольника ABC: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Подставим значение $a=8$ см:
$d = 8\sqrt{2}$ см.

4. Отрезок AO – это половина диагонали AC.
$R = AO = \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

5. Теперь мы можем найти боковое ребро $l$, используя теорему Пифагора для треугольника SOA:
$l^2 = H^2 + R^2$
$l^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2$
$l^2 = 49 + 16 \cdot 2$
$l^2 = 49 + 32$
$l^2 = 81$
$l = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

14. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 см и 10 см. Основанием высоты пирамиды, равной 8 см, является точка пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) полной поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $a = AB = 12$ см и $b = BC = 10$ см. Высота пирамиды $SO = H = 8$ см, где $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$.

Так как высота пирамиды проецируется в центр прямоугольника, то боковые грани, опирающиеся на противоположные стороны основания, являются равными треугольниками. То есть, $\triangle SAB \cong \triangle SDC$ и $\triangle SBC \cong \triangle SDA$.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех боковых граней:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$

Для вычисления площадей боковых граней найдем их высоты (апофемы пирамиды).

1. Найдем апофему $SN$ грани $SAB$. Пусть $N$ — середина стороны $AB$. В прямоугольном треугольнике $SON$ катет $SO$ — это высота пирамиды ($SO=8$ см), а катет $ON$ перпендикулярен стороне $AB$ и равен половине стороны $BC$.

$ON = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

По теореме Пифагора находим гипотенузу $SN$, которая является апофемой:

$SN = \sqrt{SO^2 + ON^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ см.

Площадь грани $SAB$ равна:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{89} = 6\sqrt{89}$ см².

2. Найдем апофему $SM$ грани $SBC$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. В прямоугольном треугольнике $SOM$ катет $SO=8$ см, а катет $OM$ перпендикулярен стороне $BC$ и равен половине стороны $AB$.

$OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

По теореме Пифагора находим апофему $SM$:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь грани $SBC$ равна:

$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см².

3. Вычисляем площадь боковой поверхности, суммируя площади двух пар равных граней:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot 6\sqrt{89} + 2 \cdot 50 = 12\sqrt{89} + 100$ см².

Ответ: $S_{бок} = (100 + 12\sqrt{89})$ см².

2) полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

1. Находим площадь основания. Основание — прямоугольник со сторонами 12 см и 10 см.

$S_{осн} = AB \cdot BC = 12 \cdot 10 = 120$ см².

2. Вычисляем площадь полной поверхности, прибавляя к площади боковой поверхности площадь основания:

$S_{полн} = (100 + 12\sqrt{89}) + 120 = 220 + 12\sqrt{89}$ см².

Ответ: $S_{полн} = (220 + 12\sqrt{89})$ см².

15. В основании пирамиды лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $c$. Каждое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, а S — её вершина. По условию, гипотенуза $AB = c$, а катеты $AC = BC$. Угол при вершине C прямой, $\angle C = 90^\circ$.

1. Анализ основания пирамиды.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Так как треугольник равнобедренный, $AC = BC$. Обозначим длину катета как $a$. Тогда $a^2 + a^2 = c^2$, что дает $2a^2 = c^2$, и отсюда $a^2 = \frac{c^2}{2}$.

Длина катета: $a = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.

Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ равна площади треугольника ABC:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2} = \frac{c^2}{4}$.

2. Определение высоты и свойств пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды (SA, SB, SC) наклонено к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Обозначим эту точку O. Таким образом, SO — высота пирамиды, которую мы обозначим H.

Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы. Следовательно, точка O — середина гипотенузы AB.

Радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы: $R = OA = OB = OC = \frac{c}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC ($\angle SOC = 90^\circ$, так как SO перпендикулярна плоскости основания). Угол наклона ребра SC к плоскости основания — это угол $\angle SCO$, и он равен 45°.

В треугольнике SOC катеты SO и OC равны, так как он является равнобедренным (углы при основании SC равны 45°).

Следовательно, высота пирамиды $H = SO = OC = R = \frac{c}{2}$.

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей трех боковых граней: $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$.

Найдем длину бокового ребра, например, SC, из треугольника SOC:

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{c}{2})^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2}{4} = \frac{2c^2}{4} = \frac{c^2}{2}$.

$SC = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.

Так как все боковые ребра равны, $SA = SB = SC = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.

• Грань SAC: Стороны треугольника равны $SA = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, $SC = \frac{c\sqrt{2}}{2}$ и $AC = a = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\triangle SAC$ — равносторонний.

  Площадь равностороннего треугольника: $S_{\triangle SAC} = \frac{(\text{сторона})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{c\sqrt{2}}{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{c^2 \cdot 2}{4}\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{c^2}{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}$.

• Грань SBC: Аналогично, стороны $\triangle SBC$ равны $SB = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, $SC = \frac{c\sqrt{2}}{2}$ и $BC = a = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Этот треугольник также является равносторонним и его площадь равна площади $\triangle SAC$.

  $S_{\triangle SBC} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}$.

• Грань SAB: Стороны $\triangle SAB$ равны $SA = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, $SB = \frac{c\sqrt{2}}{2}$ и $AB = c$. Проверим, является ли он прямоугольным по теореме Пифагора:

  $SA^2 + SB^2 = (\frac{c\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{c\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{c^2}{2} + \frac{c^2}{2} = c^2 = AB^2$.

  Теорема выполняется, значит, $\triangle SAB$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине S.

  Его площадь: $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot \frac{c\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{c\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2c^2}{4} = \frac{c^2}{4}$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAC} + S_{\triangle SBC} = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2\sqrt{3}}{8} + \frac{c^2\sqrt{3}}{8} = \frac{c^2}{4} + \frac{2c^2\sqrt{3}}{8} = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = \frac{c^2(1+\sqrt{3})}{4}$.

4. Вычисление площади полной поверхности.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2(1+\sqrt{3})}{4} = \frac{c^2 + c^2 + c^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2c^2 + c^2\sqrt{3}}{4} = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$.

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна $S_{полн} = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$.

16. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $2d$, а сторона основания — $d$. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Сначала найдем площадь основания. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. По условию, сторона основания равна $d$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив $a=d$, получаем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$

Далее найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников (боковых граней). Боковые ребра каждой грани равны $2d$, а сторона основания — $d$. Чтобы найти площадь одной такой грани, нам нужно найти ее высоту, проведенную к основанию. Эта высота называется апофемой пирамиды ($h_a$).

Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (второй катет).

$h_a^2 + (\frac{d}{2})^2 = (2d)^2$

$h_a^2 = 4d^2 - \frac{d^2}{4} = \frac{16d^2 - d^2}{4} = \frac{15d^2}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{15d^2}{4}} = \frac{d\sqrt{15}}{2}$

Теперь можем вычислить площадь одной боковой грани ($S_{грань}$):

$S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \frac{d\sqrt{15}}{2} = \frac{d^2\sqrt{15}}{4}$

Площадь всей боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей трех таких граней:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грань} = 3 \cdot \frac{d^2\sqrt{15}}{4} = \frac{3d^2\sqrt{15}}{4}$

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3d^2\sqrt{15}}{4}$

Для удобства вынесем общий множитель $\frac{d^2\sqrt{3}}{4}$ за скобки, учитывая, что $\sqrt{15} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$:

$S_{полн} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3d^2\sqrt{3}\sqrt{5}}{4} = \frac{d^2\sqrt{3}(1 + 3\sqrt{5})}{4}$

Ответ: $ \frac{d^2\sqrt{3}(1 + 3\sqrt{5})}{4} $.

17. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник. Его высота равна 12 дм, а основание – 8 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 15 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $AC = BC$. Высота основания, проведенная к основанию $AB$, равна $CH = 12$ дм, а основание $AB = 8$ дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно $l = 15$ дм, то есть $SA = SB = SC = 15$ дм. Требуется найти высоту пирамиды $SO = H$.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания $ABC$. Расстояние от центра описанной окружности до любой из вершин треугольника является радиусом этой окружности $R$. Таким образом, $OA = OB = OC = R$.

Высота пирамиды $H=SO$, боковое ребро $l=SC$ и радиус описанной окружности основания $R=OC$ образуют прямоугольный треугольник $SOC$ (с прямым углом $SOC$). По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

Отсюда, высота пирамиды $H$ может быть найдена как:

$H = \sqrt{l^2 - R^2}$

Найдем радиус $R$ описанной окружности основания. Для этого сначала найдем длины боковых сторон треугольника $ABC$ и его площадь.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также медианой. Следовательно, $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $AC$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160$

$AC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ дм.

Таким образом, стороны треугольника в основании: $a = 8$ дм, $b = 4\sqrt{10}$ дм, $c = 4\sqrt{10}$ дм.

Площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$ дм$^2$.

Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле:

$R = \frac{abc}{4S_{ABC}} = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S_{ABC}} = \frac{8 \cdot 4\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{10}}{4 \cdot 48} = \frac{8 \cdot 16 \cdot 10}{192} = \frac{1280}{192}$

Упростим дробь:

$R = \frac{1280}{192} = \frac{640}{96} = \frac{320}{48} = \frac{160}{24} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3}$ дм.

Теперь, зная радиус $R$ и длину бокового ребра $l=15$ дм, мы можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{15^2 - (\frac{20}{3})^2} = \sqrt{225 - \frac{400}{9}}$

$H = \sqrt{\frac{225 \cdot 9 - 400}{9}} = \sqrt{\frac{2025 - 400}{9}} = \sqrt{\frac{1625}{9}}$

$H = \frac{\sqrt{1625}}{3}$

Упростим корень: $1625 = 25 \cdot 65$.

$H = \frac{\sqrt{25 \cdot 65}}{3} = \frac{5\sqrt{65}}{3}$ дм.

Ответ: Высота пирамиды равна $\frac{5\sqrt{65}}{3}$ дм.

18. Основанием пирамиды является прямоугольник. Его стороны равны 0,6 дм, 0,8 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 1,5 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 0,8$ дм и $BC = 0,6$ дм. Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, все боковые ребра пирамиды равны, то есть $SA = SB = SC = SD = 1,5$ дм.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку буквой $O$. Таким образом, высота пирамиды $H$ — это отрезок $SO$, который перпендикулярен плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. В этом треугольнике гипотенузой является боковое ребро $SA$, а катетами — высота пирамиды $SO$ и отрезок $AO$, который равен половине диагонали основания $AC$. Согласно теореме Пифагора, справедливо равенство: $SA^2 = SO^2 + AO^2$. Отсюда, высоту $SO$ можно найти как $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2}$.

Для начала найдем длину диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2$$AC^2 = (0,8)^2 + (0,6)^2 = 0,64 + 0,36 = 1$$AC = \sqrt{1} = 1$ дм.

Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, следовательно, длина отрезка $AO$ составляет половину длины диагонали:$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$ дм.

Теперь, зная длины бокового ребра $SA = 1,5$ дм и отрезка $AO = 0,5$ дм, мы можем найти высоту пирамиды $H = SO$:$H^2 = SA^2 - AO^2$$H^2 = (1,5)^2 - (0,5)^2 = 2,25 - 0,25 = 2$$H = \sqrt{2}$ дм.

Ответ: Высота пирамиды равна $\sqrt{2}$ дм.