Номер 14, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

14. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 см и 10 см. Основанием высоты пирамиды, равной 8 см, является точка пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) полной поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $a = AB = 12$ см и $b = BC = 10$ см. Высота пирамиды $SO = H = 8$ см, где $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$.

Так как высота пирамиды проецируется в центр прямоугольника, то боковые грани, опирающиеся на противоположные стороны основания, являются равными треугольниками. То есть, $\triangle SAB \cong \triangle SDC$ и $\triangle SBC \cong \triangle SDA$.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех боковых граней:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$

Для вычисления площадей боковых граней найдем их высоты (апофемы пирамиды).

1. Найдем апофему $SN$ грани $SAB$. Пусть $N$ — середина стороны $AB$. В прямоугольном треугольнике $SON$ катет $SO$ — это высота пирамиды ($SO=8$ см), а катет $ON$ перпендикулярен стороне $AB$ и равен половине стороны $BC$.

$ON = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

По теореме Пифагора находим гипотенузу $SN$, которая является апофемой:

$SN = \sqrt{SO^2 + ON^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ см.

Площадь грани $SAB$ равна:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{89} = 6\sqrt{89}$ см².

2. Найдем апофему $SM$ грани $SBC$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. В прямоугольном треугольнике $SOM$ катет $SO=8$ см, а катет $OM$ перпендикулярен стороне $BC$ и равен половине стороны $AB$.

$OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

По теореме Пифагора находим апофему $SM$:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь грани $SBC$ равна:

$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см².

3. Вычисляем площадь боковой поверхности, суммируя площади двух пар равных граней:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot 6\sqrt{89} + 2 \cdot 50 = 12\sqrt{89} + 100$ см².

Ответ: $S_{бок} = (100 + 12\sqrt{89})$ см².

2) полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

1. Находим площадь основания. Основание — прямоугольник со сторонами 12 см и 10 см.

$S_{осн} = AB \cdot BC = 12 \cdot 10 = 120$ см².

2. Вычисляем площадь полной поверхности, прибавляя к площади боковой поверхности площадь основания:

$S_{полн} = (100 + 12\sqrt{89}) + 120 = 220 + 12\sqrt{89}$ см².

Ответ: $S_{полн} = (220 + 12\sqrt{89})$ см².