Номер 20, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

20. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 84 $cm^2$, а площадь ее основания — 36 $dm^2$. Найдите:

1) сторону основания;

2) апофему;

3) боковое ребро пирамиды.

В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Площадь основания $S_{осн} = 36 \text{ дм}^2 = 3600 \text{ см}^2$ не может быть больше полной поверхности $S_{полн} = 84 \text{ см}^2$. Поэтому будем решать задачу в предположении, что площадь основания равна $S_{осн} = 36 \text{ см}^2$.

1) сторону основания

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$, где $a$ – длина стороны основания. Используя данное значение площади основания, находим сторону:

$a^2 = 36 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Ответ: сторона основания равна 6 см.

2) апофему

Полная поверхность пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 84 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды также вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ – периметр основания, а $l$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания (квадрата) равен $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$.

Теперь найдем апофему $l$:

$48 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot l$

$48 = 12 \cdot l$

$l = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}$.

Ответ: апофема равна 4 см.

3) боковое ребро пирамиды

Боковое ребро ($b$), апофема ($l$) и половина стороны основания ($\frac{a}{2}$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а апофема и половина стороны основания — катетами.

Применим теорему Пифагора: $b^2 = l^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения: $l = 4$ см и $a = 6$ см (соответственно, $\frac{a}{2} = 3$ см).

$b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$b = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Ответ: боковое ребро пирамиды равно 5 см.